Chapter(1) - Functions

Functions

Function ရဲ့ မူလအဓိပၸါယ္ သတ္မွတ္ခ်က္ကေတာ့ အစု (set) ႏွစ္ခုက္ ဆက္သြယ္ေပးတဲ့ နည္းလမ္းလို႔ ဆိုႏိုင္ ပါတယ္။ အစုႏွစ္ခုဆိုတာက -

(၁) Function တစ္ခုရဲ့ ေဆာင္ရြက္မႈေအာက္မွာ ပါ၀င္ၾကမယ့္ အစု၀င္ေတြ ပါ၀င္တဲ့ မူလအစု (Domain) နဲ႔

(၂) Function ရဲ့ ေဆာင္ရြက္ၿပီးေျမာက္သြားတဲ့ အစု၀င္ေတြပါ၀င္မယ့္ (Codomain) တို႔ ျဖစ္ပါတယ္။

Function ဆိုတာကို ထုတ္လုပ္မႈေတြ လုပ္ေပးႏိုင္တဲ့ စက္ကိရိယာတစ္ခု အသြင္ ယူဆၾကည့္ရေအာင္။ ထုတ္လုပ္မႈ ဆိုကတည္းက ကုန္ၾကမ္းေတြရွိရမယ္၊ မဟုတ္လား။ အဲဒီကုန္ၾကမ္းေတြ စုထားတဲ့ အစုက domain ေပါ့။

ကုန္ၾကမ္းေတြကို စက္ထဲထည့္လိုက္ၿပီ။ တစ္ဖက္မွာ ကုန္ေခ်ာေတြ ထြက္လာၿပီေပါ့။ ကုန္ေခ်ာေတြကို အစုတစ္ခု အေနနဲ႔ စုလိုက္မယ္။ ဒါဟာ Codomain ေပါ့။ ဒီလို ျမင္ၾကည့္ႏိုင္ပါတယ္။

image


ဒီအတိုင္းပါပဲ။ Function ဆိုတာကို အခုလို ေဖၚျပလို႔ရတာေပါ့။

image

Definition : A function from a set A to a set B relates each element of A to exactly one element of B.

အစု A (Domain) ထဲမွာ ရွိတဲ့ အစု၀င္ တစ္ခုခ်င္းစီတိုင္း အတြက္ အစု B (Codomain) ထဲမွာ ဆက္သြယ္ထားတဲ့ အစု၀င္ (အတိအက်) တစ္ခုထဲပဲ ရွိရပါမယ္။

ဆိုလိုတာက A ထဲမွာ ရွိေသာ x တိုင္းအတြက္ B ထဲမွာ y ရွိရပါမယ္။ အကယ္၍ x ဟာ B ထဲမွာ y အျပင္ z နဲ႔ပါ ဆက္သြယ္မႈ ရွိေနတယ္ ဆိုရင္ေတာ့ ဒါ function မျဖစ္ေတာ့ပါဘူး။ ေအာက္ပါပံုကို ၾကည့္ပါ။

image

Domain ထဲမွာ ရွိတဲ့ အစု၀င္ တစ္ခု အတြက္ Codomain ထဲမွာ ဆက္သြယ္ခ်က္ တစ္ခုထက္ ပိုသြားရင္ Function လို႔ သတ္မွတ္လို႔ မရေတာ့ဘူး။

မွတ္ရမွာက-

Domain ထဲမွာ ရွိတဲ့ အစု၀င္တစ္ခု ခ်င္းစီတိုင္အတြက္ Codomain ထဲမွာ ဆက္စပ္အစု၀င္ အတိအက် တစ္ခုသာ ရွိရမယ္။ ပိုလို႔လည္း မရဘူး။ လံုး၀မရွိလို႔လည္း မရဘူး။ ေအာက္က ဥပမာပံုေလးေတြကို ၾကည့္ရေအာင္။

image

ဒါေတြဟာ function ရဲ့ အဓိပၸါယ္ သတ္မွတ္ခ်က္နဲ႔ ကိုက္ညီမႈမရွိတဲ့ ဆက္သြယ္ခ်က္ေတြ ျဖစ္လို႔ function လို႔ မသတ္မွတ္ႏိုင္ပါဘူး။

ကဲ ျပန္ဆက္ရေအာင္ …

image

f ဆိုတာ A နဲ႔ B ကို ဆက္စပ္ေပးတဲ့ function တစ္ခု ဆိုပါစို႔။ သေကၤတအားျဖင့္ အခုလို ေရးပါတယ္။

image

f is a function from A to B.

f ဟာ A ထဲမွာ ရွိတဲ့ x ကို B ထဲမွာရွိတဲ့ y နဲ႔ ဆက္စပ္ေပးတယ္ ဆိုတာကိုေတာ့ ဒီလိုေရးပါတယ္။

image

f maps x to y (or) y is the image of x under f.

ဒီေနရမွာ y ကိုေတာ့ f က ဆက္စပ္ေပးတဲ့ x ရဲ့ image လို႔ေခၚပါတယ္။


Functional Notation

image

ေရွ႕မွာ ေျပာခဲ့တဲ့ အတိုင္း ေျပာမယ္ဆိုရင္ f ဟာ X နဲ႔ Y ကို ဆက္သြယ္ထားတဲ့ function တစ္ခု ျဖစ္တယ္။

image

x ရဲ့ image ဟာ 2 ျဖစ္တယ္။

y ရဲ့ image ဟာ 2 ျဖစ္တယ္။

z ရဲ့ image ဟာ 3 ျဖစ္တယ္။ ဆိုတာကိုေတာ့ သေကၤတနဲ႔ ဒီလိုေရးတယ္ ဆိုတာ ေျပာခဲ့ၿပီပါၿပီ။ ျပန္ၾကည့္ရေအာင္။

image

အခုလိုုေရးတဲ့ စနစ္ဟာ ေနာင္မွာ function ေတြကို အႀကိမ္ႀကိမ္ ေရးဖို႔ လိုလာတာနဲ႔အမွ် အဆင္မေျပေတာ့ပါဘူး။ ဒါေၾကာင့္ ပိုၿပီးေတာ့ ေရးရတာ အဆင္ေျပေစတဲ့ functional notation ကို ေျပာင္းသံုးပါတယ္။

f(x) = 2 is f of x is 2.

f(y) = 2 is f of y is 2.

f(z) = 2 is f of z is 3.

image

ဒီလိုေရးတာကို functional notation လို႔ ေခၚပါတယ္။

အထက္မွာ ဥပမာ ျပခဲ့တဲ့ function ကို ၾကည့္မယ္ဆိုရင္ Codomain ထဲမွာ 1, 2, 3, 4 ဆိုတဲ့ အစု၀င္ ေလးခုရွိတာ ေတြ႕ရမွာပါ။ ဒီအစု၀င္ေတြ အားလံုးကို image လို႔ မသတ္မွတ္ ႏိုင္ပါဘူး။ 2 နဲ႔ 3 သာလွ်င္ ဆက္စပ္မႈရွိလို႔ image လို႔ ေျပာႏိုင္ပါတယ္။

ဒါေၾကာင့္ Codomain ကို အစုပိုင္း (sub sets) ႏွစ္ခု ထပ္မံပိုင္းျခား ႏိုင္ပါတယ္။ image မ်ားပါ၀င္တဲ့အစု Z နဲ႔ image မဟုတ္ေသာ အစု၀င္မ်ားရဲ့ အစု (Y \ Z) တို႔ပဲေပါ့။ ဒီေနရာမွာ image ေတြသာ ပါတဲ့အစု (Z) ကိုေတာ့ function f ရဲ့ Range လို႔ ေခၚပါတယ္။ Range ဆိုတာဘာလဲ။ အခုလိုသတ္မွတ္ႏိုင္ပါတယ္။

Range = Set of images = { Images }

ေျပာခဲ့တာေတြ ျပန္ၿပီး အက်ဥ္းခ်ဳပ္ရရင္

image

X = { x, y, z } = Domain , Y = { 1, 2, 3, 4} = Codomain, Z = { 2, 3} = Range

image

f(x) = 2 is f of x is 2.

f(y) = 2 is f of y is 2.

f(z) = 2 is f of z is 3.