Trigonometric Ratios of Special Angles

အနား တစ္ဖက္ $ \displaystyle x$ unit ရွိတဲ့ စတုရနး္ $ \displaystyle ABCD$ ဆိုပါစို႔။

စတုရန္း ျဖစ္ေသာေၾကာင့္ ေထာင့္ျဖတ္မ်ဥ္း $ \displaystyle AC$ က သက္ဆိုင္ရာ ေထာင့္မ်ားကို ထက္၀က္ပိုင္းပါတယ္။ ဒါဆိုရင္ရင္ ပံုမွာ ျမင္ေတြ႔ရတဲ့ အတိုင္း ထပ္တူညီ ေထာင့္မွန္ ႀတိဂံႏွစ္ခု ျဖစ္လာပါတယ္။

၎တို႔အထဲက ေထာင့္မွန္ႀတိဂံ $ \displaystyle ABC$ ကို ခြဲထုတ္လိုက္ရင္ $ \displaystyle \vartriangle ABC$ ဟာ ႏွစ္နားညီ တဲ့ ေတာင့္မွန္ ႀတိဂံတစ္ခု  ($ \displaystyle 45°-45°$ right triangle လို႔ ေခၚပါတယ္) ရလာပါတယ္။ $ \displaystyle AB=BC=x$ ျဖစ္တာ ေၾကာင့္ $ \displaystyle AC$ ရဲ့ အလ်ားကို Pythagoras' Theorem နဲ႔ တြက္ယူႏိုင္ပါတယ္။

 Pythagoras' Theorem အရ

        $ \displaystyle \begin{array}{l}\ \ \ \ A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={{x}^{2}}+{{x}^{2}}\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ =2{{x}^{2}}\\\\\therefore \ \ AC=\sqrt{2}x\end{array}$

ဒါဆိုရင္ $ \displaystyle AB:BC:AC=1:1:\sqrt{2}$  ဆိုၿပီး အနားအခ်ိဳးေတြကို အလြယ္တကူ သိႏိုင္ပါၿပီ။ လက္ေတြ႕ တိုင္းတာမႈ မလုပ္ပဲ သခၤ်ာရဲ့ မွန္ကန္ခ်က္မ်ားျဖင့္ အနားအခ်ိဳးေတြကို အလြယ္တကူရွာႏိုင္တဲ့ $ \displaystyle 45°-45°$ right triangle ကို special triangle လို႔ ေခၚၿပီး $ \displaystyle 45°$ ေထာင့္ကိုေတာ့ special angle လို႔ ေခၚပါတယ္။

အနားေတြရဲ့ အခ်ိဳးကို သိၿပီဆိုေတာ့ $ \displaystyle 45°$ angle ရဲ့ trigonometric ratios ေတြကို အလြယ္ တကူရွာႏိုင္ၿပီေပါ့။

Trigonometric Ratios of $ \displaystyle 45°$

$ \displaystyle \sin 45{}^\circ =\frac{x}{{\sqrt{2}x}}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

$ \displaystyle \cos 45{}^\circ =\frac{x}{{\sqrt{2}x}}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

$ \displaystyle \tan 45{}^\circ =\frac{x}{x}=1$

$ \displaystyle \cot 45{}^\circ =\frac{x}{x}=1$

$ \displaystyle \sec 45{}^\circ =\frac{{\sqrt{2}x}}{x}=\sqrt{2}$

$ \displaystyle \operatorname{cosec}45{}^\circ =\frac{{\sqrt{2}x}}{x}=\sqrt{2}$

ယခုတစ္ခါ အနားတစ္ဘက္ $ \displaystyle 2x$ unit ရွိတဲ့ သံုးနားညီႀတိဂံတစ္ခု $ \displaystyle ABD$ ကို စဥ္းစားၾကည့္မယ္။ ေထာင့္စြန္းမွတ္ $ \displaystyle A$ မွ $ \displaystyle BD$ ေပၚသို႔ အျမင့္မ်ဥ္း $ \displaystyle AC$ ကိုဆြဲလိုက္မယ္ ဆိုရင္ သံုးနားညီ ႀတိဂံျဖစ္တာေၾကာင့္ $ \displaystyle AC$ ဟာ အလယ္မ်ဥ္းလည္း ျဖစ္သလို ေထာင့္ထက္၀က္ပိုင္း မ်ဥ္းလဲ ျဖစ္ပါတယ္။ ဒါ့ေၾကာင့္ ပံုမွာ ျပထားတဲ့ အတိုင္း $ \displaystyle AC$ ဟာ $ \displaystyle \vartriangle ABD$ ကို ထပ္တူညီ ႀတိဂံ ႏွစ္ခုအျဖစ္ ပိုင္းျဖတ္ လိုက္ပါတယ္။

၎တို႔အထဲက ေထာင့္မွန္ႀတိဂံ $ \displaystyle ABC$ ကို ခြဲထုတ္လိုက္ရင္ $ \displaystyle \vartriangle ABC$ ဟာ $ \displaystyle 30°-60°$ right triangle ျဖစ္ၿပီး $ \displaystyle AC$ ရဲ့ အလ်ားကိုေတာ့ Pythagoras' Theorem နဲ႔ တြက္ယူႏိုင္ပါတယ္။

 Pythagoras' Theorem အရ

$ \displaystyle \begin{array}{l}\ \ \ \ A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}-B{{C}^{2}}\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =4{{x}^{2}}-{{x}^{2}}\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =3{{x}^{2}}\\\\\therefore \ \ \ \ AC=\sqrt{3}x\end{array}$

ဒါဆိုရင္ $ \displaystyle BC:AB:AC=1:2:\sqrt{3}$  ဆိုၿပီး အနားအခ်ိဳးေတြကို အလြယ္တကူ သိႏိုင္ပါၿပီ။ လက္ေတြ႕ တိုင္းတာမႈ မလုပ္ပဲ သခၤ်ာရဲ့ မွန္ကန္ခ်က္မ်ားျဖင့္ အနားအခ်ိဳးေတြကို အလြယ္တကူရွာႏိုင္တဲ့ $ \displaystyle 30°-60°$ right triangle ကိုလည္း special triangle လို႔ ေခၚၿပီး $ \displaystyle 30°$ နဲ႔ $ \displaystyle 60°$ ေထာင့္ ေတြကိုေတာ့ special angle လို႔ ေခၚပါတယ္။

Trigonometric Ratios of $ \displaystyle 30°$

$ \displaystyle \sin 30{}^\circ =\frac{x}{{2x}}=\frac{1}{2}$

$ \displaystyle \cos 30{}^\circ =\frac{{\sqrt{3}x}}{{2x}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

$ \displaystyle \tan 30{}^\circ =\frac{x}{{\sqrt{3}x}}=\frac{1}{{\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

$ \displaystyle \cot 30{}^\circ =\frac{{\sqrt{3}x}}{x}=\sqrt{3}$

$ \displaystyle \sec 30{}^\circ =\frac{{2x}}{{\sqrt{3}x}}=\frac{2}{{\sqrt{3}}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

$ \displaystyle \operatorname{cosec}30{}^\circ =\frac{{2x}}{x}=2$

Trigonometric Ratios of $ \displaystyle 60°$

$ \displaystyle \sin 60{}^\circ = \frac{{\sqrt{3}x}}{{2x}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

$ \displaystyle \cos 60{}^\circ =\frac{x}{{2x}}=\frac{1}{2}$

$ \displaystyle \tan 60{}^\circ = \frac{{\sqrt{3}x}}{x}=\sqrt{3}$

$ \displaystyle \cot 60{}^\circ =\frac{x}{{\sqrt{3}x}}=\frac{1}{{\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

$ \displaystyle \sec 60{}^\circ = \frac{{2x}}{x}=2$

$ \displaystyle \operatorname{cosec}60{}^\circ =\frac{{2x}}{{\sqrt{3}x}}=\frac{2}{{\sqrt{3}}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$