Calculus : Gradient of Tangent



ေပးထားတဲ့ curve (အစိမ္းေရာင္) က $ \displaystyle y=f(x)$ ျဖစ္ပါတယ္။ ခရမ္းေရာင္ $ \displaystyle PQ$ မ်ဥ္းကေတာ့ $ \displaystyle \text{curve}$ ေပၚမွာရွိတဲ့ အမွတ္ႏွစ္ခုကို ျဖတ္သြားလို႔ $ \displaystyle \text{secant}$ လို႔ ေခၚမယ္။ $ \displaystyle P$ အမွတ္မွာ $ \displaystyle \text{curve}$ ကို ထိသြားတဲ့ အနက္ေရာင္မ်ဥ္းကိုေတာ့ $ \displaystyle \text{tangent}$ လို႔ေခၚမယ္။


Given (ေပးခ်က္) : Curve : $ \displaystyle y=f(x)$


Claim (ရွာရန္) : Gradient (Slope) of tangent at P


Explanation (ရွင္းလင္းခ်က္)


ေပးထားတာ curve : $ \displaystyle y=f(x)$  ရွိတာေၾကာင့္ curve equation ထဲကို $ \displaystyle x$ ေတြထည့္ရင္ $ \displaystyle y$ ရမွာေပါ့။ တနည္းေျပာရင္ curve ေပၚမွာရွိတဲ့ အမွတ္ေတြကို ႀကိဳက္သေလာက္ ရွာႏိုင္ပါတယ္။ curve ေပၚမွာရွိတဲ့ အမွတ္ႏွစ္ကို ျဖတ္ဆြဲရင္ secant ေပါ့။ အမွတ္ႏွစ္မွတ္ သိမွေတာ့ gradient (slope) ကိုလည္း ရွာလို႔ရၿပီေပါ့။


$ \displaystyle \begin{array}{l}\ \ \ y=f(x)\\\\\ \ \ {{y}_{1}}=f({{x}_{1}})\Rightarrow y+\delta y=f(x+\delta x)\\\\\therefore \ \text{Gradient of secant}\ PQ\\\\=\frac{{{{y}_{1}}-y}}{{{{x}_{1}}-x}}\\\\=\frac{{y+\delta y-y}}{{x+\delta x-x}}\ \text{or }\frac{{f(x+\delta x)-f(x)}}{{x+\delta x-x}}\\\\=\frac{{\delta y}}{{\delta x}}\ \text{or }\frac{{f(x+\delta x)-f(x)}}{{\delta x}}\end{array}$


ဒါေပမယ့္ အခုလိုခ်င္တာက gradient of tangent ျဖစ္ပါတယ္။ secant မဟုတ္ဘူး။ ျပသနာက tangent က curve ေပၚမွာ အမွတ္တစ္မွတ္ကိုပဲ ထိသြားတာ၊ ႏွစ္မွတ္မရွိဘူး။ တစ္မွတ္ထဲကို ႏွစ္ကိုယ္ခြဲတြက္ေပါ့ လို႔ေျပာလိုက ေျပာႏိုင္ပါေသးတယ္။ ႏွစ္ကိုယ္ခြဲလိုက္မွေတာ့ $ \displaystyle \frac{{{{y}_{1}}-y}}{{{{x}_{1}}-x}}=\frac{{y-y}}{{{{y}_{1}}-x}}=\frac{0}{0}$ ဆိုတာ indeterminate form ျဖစ္သြားၿပီ ဘာမွ ဆက္လုပ္လို႔မရေတာ့ဘူး။


ေရ တစ္စည္ထဲကို ေရတစ္ခြက္ ေပါင္းထည့္လို႔၊ ေရတစ္စည္ထဲက ေရတစ္ခြက္ ခပ္ထုတ္လိုက္လို႔ ေရ တစ္စည္ကို တိုးလားတယ္ ေလ်ာ့သြားတယ္လို႔ ေျပာေလ့မရွိၾကပါဘူး။ ဘာေၾကာင့္လဲ ဆိုေတာ့ $\displaystyle \frac{{\operatorname{ေရတစ္ခြက္}}}{{\operatorname{ေရတစ္စည္}}}\approx0$ ျဖစ္တာေၾကာင့္ပါ။ သခၤ်ာ႐ွဳေထာင့္က ၾကည့္ရင္ေတာ့ တစ္ခြက္တိုးတိုး တစ္စက္ တိုးတိုး အတိုး ရွိတာေပါ့့။


အလားတူပါပဲ တစ္မွတ္ထဲပဲ ရွိတဲ့ tangent ရဲ့ gradient ကို မရွာႏိုင္ေပမယ့္ အမွတ္ $ \displaystyle P$ နားကို အလြန္နီးကပ္ေနတဲ့ အမွတ္တစ္ခုကို ယူလိုက္ရင္ေတာ့ အမွတ္ႏွစ္ခု ျဖစ္သြားလို႔ gradient ရွာႏိုင္ၿပီေပါ့။  tangent ေတာ့မဟုတ္ဘူး tangent နား အလြန္ကပ္ေနတဲ့ secant ရဲ့ gradient ေပါ့။ Calculus မွာေတာ့ $ \displaystyle Q$ က $ \displaystyle P$ အနားကို လံုေလာက္ေအာင္ နီးကပ္သြားရင္ Gradient of tangent = Gradient of Secant လို႔ သတ္မွတ္ပါတယ္။


ပံုမွာ ျမင္ေတြ႔ရတဲ့ အတိုင္းေပါ့။ $ \displaystyle Q$ က Curve တေလွ်ာက္ $ \displaystyle P$ အနားကို ကပ္သြားဖို႔ $ \displaystyle {{{x}_{1}}}$ ရဲ့ တန္ဖိုး ေလ်ာ႔သြားဖို႔လိုပါတယ္။ $ \displaystyle {{x}_{1}}=x+\delta x$ ျဖစ္တာေၾကာင့္ $ \displaystyle {{{x}_{1}}}$ ရဲ့ တန္ဖိုး ေလ်ာ့သြားဖို႔ ဆိုတာက $ \displaystyle {\delta x}$ တန္ဖိုး ေလ်ာ့သြားမွ ျဖစ္မွာေပါ့။ ပံုမွာ $ \displaystyle {\delta x}$ တန္ဖိုးသတ္မွတ္ထားတဲ့ slider ကို ဘယ္ဘက္ကို ေရႊ႕ၾကည့္ပါ။


$ \displaystyle \begin{array}{*{20}{l}} {\text{When }\delta x\to 0,\ } \\ {} \\ {\text{Gradient of secant}\to \text{Gradient of tangent}} \\ {} \\ {\text{Therefore the gradient of secant approaches }} \\ {\text{the gradient of tangent when }\delta x\ \text{approaches 0}\text{.}} \\ {} \\ \begin{array}{l}\text{By limit notation,}\\\text{ }\end{array} \\ \begin{array}{l}\text{Gradient of tangent =}\underset{{\delta x\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\delta y}}{{\delta x}}\\\\\text{Gradient of tangent =}\underset{{\delta x\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{f(x+\delta x)-f(x)}}{{\delta x}}\end{array} \end{array}$


Gradient of tangent ကိုေတာ့ သေကၤတ $ \displaystyle \frac{{dy}}{{dx}}$ (သို႔) $ \displaystyle y'$ (သို႔) $ \displaystyle f'(x)$ (သို႔) $\displaystyle \frac{d}{{dx}}\left[ {f(x)} \right]$ ျဖင့္သတ္မွတ္ပါတယ္။ ဒါ့ေၾကာင့္ ...


$ \displaystyle \begin{array}{l}\frac{{dy}}{{dx}}={y}'=\underset{{\delta x\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\delta y}}{{\delta x}}\\{f}'(x)=\frac{d}{{dx}}\left[ {f(x)} \right]=\underset{{\delta x\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{f(x+\delta x)-f(x)}}{{\delta x}}\end{array}$