Properties of Limits


1.     $ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)=f(a)$ when $ \displaystyle f(x)$ is continuous at $ \displaystyle x=a$.
        Function သည် $ \displaystyle x=a$ တွင် continuous ဖြစ်နေလျှင် [$ \displaystyle f(a)$ တန်ဖိုးရှာနိုင်လျှင် (သို့) $ \displaystyle f(a)$ သည် indeterminate form
        မဖြစ်လျှင်] $ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)=f(a)$ ဟု ရေးနိုင်ပါသည်။

       Assume that the limits of functions $\displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)$ and $\displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,g(x)$ exist and that $ \displaystyle c$ is any constant. Then 

2.  The limit of a constant times a function is the constant times the limit.
 
$ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {c\cdot f(x)} \right)=c\cdot \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)$
      
       Function ကို constant ဖြင့် မြှောက်ထားလျှင် function ကိုသာ limit ယူပြီး constant ဖြင့် မြှောက်ပေးရပါသည်။

              Example :
          $ \displaystyle \ \ \ \underset{{x\to 3}}{\mathop{{\lim }}}\,(4x)$
          $ \displaystyle =4\underset{{x\to 3}}{\mathop{{\lim }}}\,(x)$
          $ \displaystyle =4(3)$
          $ \displaystyle =12$

3.  The limit of a constant times a function is the constant times the limit. If $ \displaystyle h(x)=c$ for all $ \displaystyle x$, then

$ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,h(x)=\underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,c=c$

      Function သည်ကိန်းသေ (constant function) ဖြစ်လျှင် function ကို limit ယူလျှင် မူလတန်ဘိုး constant သာ ပြန်ရသည်။

             Example :
             $ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,(3)=3$
             $ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,(2018)=2018$
             $ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,(\sqrt{5})=\sqrt{5}$

4.     The limit of a sum or difference is the sum or difference of the limits.

$ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,[f\left( x \right)\pm g\left( x \right)]\text{ }=~\underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,f\left( x \right)\pm \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,g\left( x \right)$

        Function များ၏ ပေါင်းလဒ် နှုတ်လဒ်ကို Limit ယူလျှင် Function တစ်ခုချင်းစီကို Limit ယူပြီးမှ ပေါင်း၊ နှုတ် လုပ်ရသည်။

           Example :
           $ \displaystyle \ \ \ \underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {3{{x}^{2}}+4x+1} \right)$
           $ \displaystyle =\underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,3{{x}^{2}}+\underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,4x+\underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,1$ 
           $ \displaystyle =3+4+1$
           $ \displaystyle =8$

          လက်တွေ့ပုစ္ဆာများကို ဖြေရှင်းရာတွင် ရိုးရှင်းသော အလယ်အဆင့်များကို ကျော်တွက်လေ့ရှိသည်။ 

5.     The limit of the product of two functions is the product of their limits (if they exist):   
 
$ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,[f\left( x \right)\cdot g\left( x \right)]\text{ }=~\underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,f\left( x \right)\cdot \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,g\left( x \right)$

        Function များ၏မြှောက်လဒ်ကို Limit ယူလျှင် Function တစ်ခုချင်းစီကို Limit ယူပြီးမှ မြှောက် ရသည်။

           Example :
           $ \displaystyle \ \ \ \underset{{x\to 4}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {x\cdot \sqrt{x}} \right)$
           $ \displaystyle =\underset{{x\to 4}}{\mathop{{\lim }}}\,x\cdot \underset{{x\to 4}}{\mathop{{\lim }}}\,\sqrt{x}$ 
           $ \displaystyle =4\sqrt{4}$
           $ \displaystyle =2$
      
          လက်တွေ့ပုစ္ဆာများကို ဖြေရှင်းရာတွင် ရိုးရှင်းသော အလယ်အဆင့်များကို ကျော်တွက်လေ့ရှိသည်။  

6.     The limit of quotient of two functions is the quotient of their limits, provided that 
        the limit in the denominator function is not zero: 

$ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{f(x)}}{{g(x)}}=\frac{{\underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)}}{{\underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,g(x)}}$ if $ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,g(x)\ne 0$

        Function များ၏ စားလဒ်ကို Limit ယူလျှင် Function တစ်ခုချင်းစီကို Limit ယူပြီးမှ စား ရသည်။ 
          ပိုင်းခြေ Function Limit သည် 0 မဖြစ်ရပါ။

          Example :
          $ \displaystyle \ \ \ \ \underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{2}}+1}}{{2x-1}}$
          $ \displaystyle =\frac{{\underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {{{x}^{2}}+1} \right)}}{{\underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {2x-1} \right)}}$ 
          $ \displaystyle =\frac{{1+1}}{{2-1}}$
          $ \displaystyle =2$
     
      လက်တွေ့ပုစ္ဆာများကို ဖြေရှင်းရာတွင် ပိုင်းခြေ 0 မဖြစ်လျှင် ရိုးရှင်းသော အလယ်အဆင့်များ ကို ကျော်တွက်လေ့ရှိသည်။ 

7 .
$ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^{n}}={{\left[ {\underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,f\left( x \right)} \right]}^{n}},\underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,\sqrt[n]{{f(x)}}=\sqrt[n]{{\underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)}}$ where the powr $ \displaystyle n$ can be any real number.

       ထပ်ကိန်း (ကိန်းရင်း) Function များကို Limit ယူလျှင် Function ကို Limit ယူပြီးမှ ထပ်ကိန်း (ကိန်းရင်း) ကို ရှာရပါသည်။

          Example (1)
          $ \displaystyle \ \ \ \underset{{x\to 2}}{\mathop{{\lim }}}\,{{x}^{5}}$
          $ \displaystyle ={{\left( {\underset{{x\to 2}}{\mathop{{\lim }}}\,x} \right)}^{5}}$ 
          $ \displaystyle ={{2}^{5}}$
          $ \displaystyle =32$
       
          Example (2): 
          $ \displaystyle \ \ \ \underset{{x\to 2}}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left[ {2x-3} \right]}^{3}}$
          $ \displaystyle ={{\left[ {\underset{{x\to 2}}{\mathop{{\lim }}}\,(2x-3)} \right]}^{3}}$ 
          $ \displaystyle ={{\left[ {2\underset{{x\to 2}}{\mathop{{\lim }}}\,x-\underset{{x\to 2}}{\mathop{{\lim }}}\,3} \right]}^{3}}$
          $ \displaystyle ={{\left[ {2(2)-3} \right]}^{3}}$
          $ \displaystyle =1$
      
          Example (3): 
          $ \displaystyle \ \ \ \underset{{x\to 3}}{\mathop{{\lim }}}\,\sqrt[3]{{3{{x}^{2}}}}$
          $ \displaystyle =\sqrt[3]{{\underset{{x\to 3}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {3{{x}^{2}}} \right)}}$
          $ \displaystyle =\sqrt[3]{{\left( {3\cdot \underset{{x\to 3}}{\mathop{{\lim }}}\,{{{\left( x \right)}}^{2}}} \right)}}$ 
          $ \displaystyle =\sqrt[3]{{3\cdot {{{(3)}}^{2}}}}$
          $ \displaystyle =3$

       လက်တွေ့ပုစ္ဆာများကို ဖြေရှင်းရာတွင် ရိုးရှင်းသော အဆင့်များကို ကျော်တွက်လေ့ရှိသည်။