Definition of a Limit


$ \displaystyle f(x)=\frac{{{{x}^{3}}-1}}{{x-1}}$ ဆိုတဲ့ function တစ္ခုကို စဥ္စားၾကည့္ရေအာင္ $ \displaystyle f(x)$ ဟာ ထည့္လိုက္တဲ့ $ \displaystyle x$ တန္ဖိုးတိုင္းအတြက္ output (image) တစ္ခု ထုတ္ေပးမွာေပါ့။ 

အေပၚက slider ကို ဆြဲၾကည့္ပါ။ 

ဒါေပမယ့္ $ \displaystyle x=1$ ျဖစ္သြားရင္ေတာ့ $ \displaystyle f(x)$ ဟာ ဘာလုပ္ရမွန္းမသိေတာ့ပါဘူး။ ဘာလို႔လဲ ဆိုေတာ့ $ \displaystyle f(1)=\frac{{1-1}}{{1-1}}=\frac{0}{0}$ ဆိုတာကို $ \displaystyle f(x)$ က နားမလည္ေတာ့ဘူးေလ။ 

ဘယ္ကိန္းကို မဆို ာ့ $ \displaystyle 0$ နဲ႔ စားျခင္းက အဓိပါယ္မရွိလို႔ပါပဲ။ ဒါဆိုရင္ $ \displaystyle x$ က $ \displaystyle 1$ ျဖစ္လို႔ မရဘူးေပါ့။ $ \displaystyle x=1$ မျဖစ္ရဘူးဆိုရင္ ဘယ္ေလာက္အထိ ျဖစ္ခြင့္ ရွိပါသလဲ။ 

$ \displaystyle x=1$ မျဖစ္ဖို႔ပဲ လိုတာ။ ။ $ \displaystyle 1$ မဟုတ္တဲ့ ဘယ္ကိန္းစစ္မဆို ျဖစ္လို႔ ရပါတယ္။ 

ကၽြန္ေတ့ာ္ ေက်ာင္းသားေတြကို သင္လိုက္သလို ေျပာရရင္ ။ $ \displaystyle 1$ ကို ထိလို႔ မရဘူး ထိရင္ ေရွာ့ပဲ။ မထိနဲ႔လို႔ ေျပာတာ.. မကပ္နဲ႔ လို႔ မေျပာတဲ့ အတြက္ ။ $ \displaystyle 1$ ရဲ့ အနားကို ကပ္ႏိုင္ သေလာက္ထိ ကပ္ၾကည့္မယ္..။ 

တကယ္ေတာ့ ကပ္ႏိုင္သေလာက္ဆိုတာ ဘယ္ေလာက္လဲ တိတိက်က် တန္ဖိုးေတာ့ မရွိဘူးေပါ့။ ေအာက္က ဇယားကိုၾကည့္ပါ။


$ \displaystyle x$ က $ \displaystyle 1$ အနားကို နီးကပ္လာေလေလ ... $ \displaystyle f(x)$ က $ \displaystyle 3$ အနားကို ေရာက္လာေလေလေပါ့။ 

$ \displaystyle x=1$ ဆိုၿပီး တိုက္ရိုက္ထည့္ လိုက္ရင္ေတာ့ ေရွာ့ပဲ...။ စိတ္ရွည္ရွည္နဲ႔ ကပ္ၾကည့္ လိုက္ရင္ေတာ့ ရလဒ္တစ္ခု ထြက္လာတာေပါ့။ 

ဒါကို Calculus မွာ $ \displaystyle f(x)$ ရဲ့ limit လို႔ သတ္မွတ္ၿပီး သေကၤတ အားျဖင့္ $ \displaystyle \underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)=3$ (The limit of f(x) as x approaches 1 is 3) လို႔ သတ္မွတ္ပါတယ္။ 

လက္ေတြ႔ပုစာၦေျဖရွင္းရာမွာေတာ့ ပုစာၦတိုင္းကို အခုလို ခ်ဥ္းကပ္ေျဖရွင္းဖို႔ မျဖစ္ႏိုင္ေတာ့တဲ့အတြက္ တိုက္ရိုက္အစားသြင္းၾကည့္တဲ့ အခါ $ \displaystyle f(1)=\frac{0}{0}$ (indeterminate form လို႔ ေခၚပါတယ္) ျဖစ္ရင္ discontinuity ကေန continuous condition (အစားသြင္းလို႔ ရမယ့္ အေျခအေနကို) ေျပာင္းလဲ ေျဖရွင္းၿပီးမွ တြက္ၾကရတာေပါ့။ 

အခုလို တြက္ပါမယ္။

$ \displaystyle \underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{3}}-1}}{{x-1}}=\underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{(x-1)({{x}^{2}}+x+1)}}{{x-1}}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,({{x}^{2}}+x+1)\ \ \ \ \ \ \left[ {\text{continuous}\ \text{condition}} \right]$

$ \displaystyle \begin{array}{l}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\ 1+1+1\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\ 3\end{array}$

Definition of a limit

If $ \displaystyle f(x)$ becomes arbitrarily close to a single number $ \displaystyle L$ as $ \displaystyle x$ approaches $ \displaystyle c$ from either side, then the limit of $ \displaystyle f(x),$ as $ \displaystyle x$ approaches $ \displaystyle c$, is $ \displaystyle L$. This limit is written as

$ \displaystyle \underset{{x\to c}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)=L$

Limit ပုစာၦမ်ား တြက္ရမွာ သိထားရမယ့္ properties ေတြကို ေတာ့ 👉 ဒီေနရာမွာ 👈 ဖတ္ၾကည့္ပါ။