a cos θ ± b sin θ = c နှင့် a sin θ ± b cos θ = c ညီမျှခြင်း ပုံသေနည်းများ ဖြစ်ပေါ်လာပုံ


$ \displaystyle a$ နဲ့ $ \displaystyle b$ ဟာ အပေါင်းကိန်း နှစ်ခုဖြစ်တယ် ဆိုပါစို့။ ၎င်း တို့ဟာ မျဉ်းပြတ်နှစ်ခုရဲ့ အလျားများ ဖြစ်တယ်လို့ သတ်မှတ်လိုက်မယ်။


အလျား $ \displaystyle a$ ယူနစ် ရှိတဲ့ မျဉ်းပြတ် နဲ့ အလျား $ \displaystyle b$ ယူနစ်ရှိတဲ့ မျဉ်းပြတ် တို့ဟာထောင့်မှန်တြိဂံ တစ်ခုရဲ့ ထောင့်မှန်ဆောင်အနားများဖြစ်ပြီး ထောင့်မှန်ခံအနားရဲ့ အလျားကတော့ $ \displaystyle R$ ယူနစ် ဖြစ်မယ်ဆိုရင် Pythagoras’ Theorem အရ…

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ R^2=a^2+b^2$

$ \displaystyle \therefore \ \ R= \sqrt{a^2+b^2}$ ဖြစ်ပါတယ်။

ထောင့်မှန်ခံအနား(hypotenuse) နဲ့ ထောင့်မှန်ဆောင်အနား(leg) တစ်ဖက် ကြားမှာရှိတဲ့ ထောင့်က $ \displaystyle \alpha$ ဖြစ်တယ်လို့ သတ်မှတ်ပါမယ်။ ဒါဆိုရင် …

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ a=R\cos\alpha$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ b= R\sin\alpha$

$ \displaystyle \therefore \ \ \ \frac{b}{a}=\frac{{R\sin \alpha }}{{R\cos \alpha }}\ \Rightarrow \ \tan \alpha =\frac{b}{a}$ ဖြစ်ပါတယ်။

$ \displaystyle a$ နဲ့ $ \displaystyle b$ ဟာ အပေါင်းကိန်းများလို့ သတ်မှတ်ထားလို့ $ \displaystyle \alpha$ က ထောင့်ကျဉ်း (acute angle) အဖြစ်သာ ယူပါမယ်။

$ \displaystyle a\cos \theta +b\sin \theta =c$ ဆိုတဲ့ ညီမျှခြင်းရဲ့ $ \displaystyle a$ နဲ့ $ \displaystyle b$ နေရာမှာ အထက်မှာ သတ်မှတ်ခဲ့တဲ့ တန်ဖိုးတွေ အစားသွင်းလိုက်ရင် ...

$ \displaystyle \begin{array}{l}\ \ \ \ \ R\cos \theta \cos \alpha +R\sin \theta \sin \alpha =c\\\\\therefore \ \ \ R\left( {\cos \theta \cos \alpha +\sin \theta \sin \alpha } \right)=c\\\\\therefore \ \ \ R\cos \left( {\theta -\alpha } \right)=c\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{array}{l}\begin{array}{|r||l|l|l|c|c|c|c|c|c|} \hline \therefore \ \ \ \sqrt{{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\cos \left( {\theta -\alpha } \right)=c \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}$

နောက်ထပ် ညီမျှခြင်းတွေကို ဆက်ပြီး အစားသွင်းကြည့်မယ်...။

$ \displaystyle \begin{array}{l}\ \ \ \ \ a\cos \theta -b\sin \theta =c\\\\\ \ \ \ \ R\cos \theta \cos \alpha -R\sin \theta \sin \alpha =c\\\\\therefore \ \ \ R\left( {\cos \theta \cos \alpha -\sin \theta \sin \alpha } \right)=c\\\\\therefore \ \ \ R\cos \left( {\theta +\alpha } \right)=c\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{array}{l}\begin{array}{|r||l|l|l|c|c|c|c|c|c|} \hline \therefore \ \ \ \sqrt{{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\cos \left( {\theta +\alpha } \right)=c \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}$

$ \displaystyle \begin{array}{l}\ \ \ \ \ a\sin \theta +b\cos \theta =c\\\\\ \ \ \ \ R\sin \theta \cos \alpha +R\cos \theta \sin \alpha =c\\\\\therefore \ \ \ R\left( {\sin \theta \cos \alpha +\cos \theta \sin \alpha } \right)=c\\\\ \therefore \ \ \ R\sin \left( {\theta +\alpha } \right)=c\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{array}{l}\begin{array}{|r||l|l|l|c|c|c|c|c|c|} \hline \therefore \ \ \ \sqrt{{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\sin \left( {\theta +\alpha } \right)=c \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}$

$ \displaystyle \begin{array}{l}\ \ \ \ \ a\sin \theta -b\cos \theta =c\\\\\ \ \ \ \ R\sin \theta \cos \alpha -R\cos \theta \sin \alpha =c\\\\\therefore \ \ \ R\left( {\sin \theta \cos \alpha -\cos \theta \sin \alpha } \right)=c\\\\\therefore \ \ \ R\sin \left( {\theta -\alpha } \right)=c\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{array}{l}\begin{array}{|r||l|l|l|c|c|c|c|c|c|} \hline \therefore \ \ \ \sqrt{{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\sin \left( {\theta -\alpha } \right)=c \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}$

အချုပ်ဆိုရသော် ...

$ \displaystyle \text{Original Expression}$ $ \displaystyle \text{Combined Expression}$ $ \displaystyle \tan\alpha$
$ \displaystyle a\cos\theta +b\sin \theta =c$ $ \displaystyle \sqrt{{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\cos \left( {\theta -\alpha } \right)=c$ $ \displaystyle \tan \alpha =\frac{b}{a}$
$ \displaystyle a\cos\theta -b\sin \theta =c$ $ \displaystyle \sqrt{{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\cos \left( {\theta +\alpha } \right)=c$ $ \displaystyle \tan \alpha =\frac{b}{a}$
$ \displaystyle a\sin\theta +b\cos \theta =c$ $ \displaystyle \sqrt{{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\sin \left( {\theta +\alpha } \right)=c$ $ \displaystyle \tan \alpha =\frac{b}{a}$
$ \displaystyle a\sin\theta -b\cos \theta =c$ $ \displaystyle \sqrt{{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\sin \left( {\theta -\alpha } \right)=c$ $ \displaystyle \tan \alpha =\frac{b}{a}$