1.        Find the unit vector in the direction of $ \displaystyle \overrightarrow{{PQ}}$ where $ \displaystyle P$ and $ \displaystyle Q$ are points $ \displaystyle (2, 3)$ and $ \displaystyle (7, – 9)$.

Show/Hide Solution

$ \displaystyle \begin{array}{l}\ \ \ \ P\operatorname{and}\ Q\ \text{are points}\ (2,3)\ \operatorname{and}\ (7,-9).\\\\\therefore \ \ \overrightarrow{{OP}}=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2 \\ 3 \end{array}} \right)\ \operatorname{and}\ \ \overrightarrow{{OQ}}=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7 \\ {-9} \end{array}} \right)\\\\\ \ \ \ \overrightarrow{{PQ}}=\overrightarrow{{OQ}}-\ \overrightarrow{{OP}}\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7 \\ {-9} \end{array}} \right)-\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2 \\ 3 \end{array}} \right)\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ {-12} \end{array}} \right)\\\\\therefore \ \ \left| {\ \overrightarrow{{PQ}}} \right|=\sqrt{{{{5}^{2}}+{{{\left( {-12} \right)}}^{2}}}}=13\\\\\therefore \ \ \text{The unit vector in }\\\ \ \ \ \text{the direction of}\ \ \ \ =\displaystyle \frac{{\overrightarrow{{PQ}}}}{{\left| {\ \overrightarrow{{PQ}}} \right|}}\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\displaystyle \frac{1}{{13}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ {-12} \end{array}} \right)\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\displaystyle \frac{5}{{13}}} \\ {-\displaystyle \frac{{12}}{{13}}} \end{array}} \right)\end{array}$

2.        Given that $ \displaystyle \overrightarrow{{OP}}=\widehat{\text{i}}+2\widehat{\text{j}}$ and $ \displaystyle \overrightarrow{{OQ}}=7\widehat{\text{i}}-4\widehat{\text{j}}$. Find the position vector of a point $ \displaystyle R$ which lies on the line $ \displaystyle PQ$ such that $ \displaystyle PR : RQ = 2 : 1$.

Show/Hide Solution



$ \displaystyle \begin{array}{l}\ \ \ \ \ \overrightarrow{{OP}}=\widehat{\text{i}}+2\widehat{\text{j}}\\\\\ \ \ \ \ \overrightarrow{{OQ}}=7\widehat{\text{i}}-4\widehat{\text{j}}\\\\\ \ \ \ \ PR:RQ=2:1\\\\\ \ \ \ \ \text{By section formula},\ \\\\\ \ \ \ \ \ \overrightarrow{{OR}}=\displaystyle \frac{{\left( {1\times \overrightarrow{{OP}}} \right)+\left( {2\times \overrightarrow{{OQ}}} \right)}}{{1+2}}\ \\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\displaystyle \frac{1}{3}\ \left[ {\widehat{\text{i}}+2\widehat{\text{j}}+2\left( {7\widehat{\text{i}}-4\widehat{\text{j}}} \right)} \right]\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =5\widehat{\text{i}}-2\widehat{\text{j}}\end{array}$

3.        If $ \displaystyle \overrightarrow{{OA}}=-5\widehat{\text{i}}+6\widehat{\text{j}}$, $ \displaystyle \overrightarrow{{OB}}=2\widehat{\text{i}}+5\widehat{\text{j}}$ and $ \displaystyle \overrightarrow{{OC}}=9\widehat{\text{i}}+4\widehat{\text{j}}$, show that $ \displaystyle A, B$ and $ \displaystyle C$ are collinear.

Show/Hide Solution

$ \displaystyle \begin{array}{l}\ \ \ \ \ \overrightarrow{{OA}}=-5\widehat{\text{i}}+6\widehat{\text{j}}\\\\\ \ \ \ \ \overrightarrow{{OB}}=2\widehat{\text{i}}+5\widehat{\text{j}}\\\\\ \ \ \ \ \overrightarrow{{OC}}=9\widehat{\text{i}}+4\widehat{\text{j}}\\\ \ \ \ \ \\\therefore \ \ \ \overrightarrow{{AB}}=\overrightarrow{{OB}}-\overrightarrow{{OA}}\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( {2\widehat{\text{i}}+5\widehat{\text{j}}} \right)-\left( {-5\widehat{\text{i}}+6\widehat{\text{j}}} \right)\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =7\widehat{\text{i}}-\widehat{\text{j}}\\\\\ \ \ \ \ \overrightarrow{{BC}}=\overrightarrow{{OC}}-\overrightarrow{{OB}}\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( {9\widehat{\text{i}}+4\widehat{\text{j}}} \right)-\left( {2\widehat{\text{i}}+5\widehat{\text{j}}} \right)\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =7\widehat{\text{i}}-\widehat{\text{j}}\\\\\therefore \ \ \ \overrightarrow{{AB}}=\overrightarrow{{BC}}\\\\\therefore \ \ \ A,B\ \operatorname{and}\ C\ \text{are collinear}.\end{array}$

4.        Given that $ \displaystyle \overrightarrow{{OP}}=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} k \\ 5 \end{array}} \right)$, $ \displaystyle \overrightarrow{{OQ}}=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-2} \\ 8 \end{array}} \right)$ and $ \displaystyle \overrightarrow{{OR}}=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3 \\ {11} \end{array}} \right)$. If $ \displaystyle P, Q$ and $ \displaystyle R$ are collinear, find the value of $ \displaystyle k$.

Show/Hide Solution

$ \displaystyle \begin{array}{l}\ \ \ \ \ \overrightarrow{{OP}}=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} k \\ 5 \end{array}} \right),\\\\\ \ \ \ \overrightarrow{{OQ}}=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-2} \\ 8 \end{array}} \right),\\\\\ \ \ \ \overrightarrow{{OR}}=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3 \\ {11} \end{array}} \right),\\\\\therefore \ \ \overrightarrow{{PQ}}=\overrightarrow{{OQ}}-\overrightarrow{{OP}}\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-2} \\ 8 \end{array}} \right)-\left( {\begin{array}{*{20}{c}} k \\ 5 \end{array}} \right)\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-2-k} \\ 3 \end{array}} \right)\\\\\ \ \ \ \overrightarrow{{QR}}=\overrightarrow{{OR}}-\overrightarrow{{OQ}}\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3 \\ {11} \end{array}} \right)-\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-2} \\ 8 \end{array}} \right)\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 3 \end{array}} \right)\\\\\ \ \ \ \text{By the problem,}\ \\\\\ \ \ P,\ Q\ \operatorname{and}\ R\ \text{are collinear}.\\\\\therefore \ \ \text{Let}\ \overrightarrow{{PQ}}=h\overrightarrow{{QR}}\\\\\therefore \ \ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-2-k} \\ 3 \end{array}} \right)=h\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 3 \end{array}} \right)\\\\\ \ \ \ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-2-k} \\ 3 \end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {5h} \\ {3h} \end{array}} \right)\\\\\therefore \ \ 3h=3\\\\\ \ \ \ h=1\\\\\ \ \ \ -2-k=5h\\\\\ \ \ k=-2-5h\\\\\ \ \ k=-7\\\ \ \ \end{array}$

5.        Using a vector method, show that the points $ \displaystyle A (– 8, 10), B (– 1, 9)$ and $ \displaystyle C (6, 8)$ are collinear and hence find the ratio $ \displaystyle AB : BC$.

Show/Hide Solution

$ \displaystyle \begin{array}{l}\ \ \ \ \ \overrightarrow{{OA}}=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-8} \\ {10} \end{array}} \right),\\\\\ \ \ \ \overrightarrow{{OB}}=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-1} \\ 9 \end{array}} \right),\\\\\ \ \ \ \overrightarrow{{OC}}=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6 \\ 8 \end{array}} \right),\\\\\therefore \ \ \overrightarrow{{AB}}=\overrightarrow{{OB}}-\overrightarrow{{OA}}\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-1} \\ 9 \end{array}} \right)-\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-8} \\ {10} \end{array}} \right)\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7 \\ {-1} \end{array}} \right)\\\\\ \ \ \ \overrightarrow{{BC}}=\overrightarrow{{OC}}-\overrightarrow{{OB}}\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6 \\ 8 \end{array}} \right)-\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-1} \\ 9 \end{array}} \right)\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7 \\ {-1} \end{array}} \right)\\\\\therefore \ \ \overrightarrow{{AB}}=\overrightarrow{{BC}}\\\\\ \ \ A,\ B\ \operatorname{and}\ C\ \text{are collinear and }\\\\\ \ \ AB:BC=1:1\ \end{array}$

6.        If $ \displaystyle \overrightarrow{{OP}}=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-3} \\ 8 \end{array}} \right)$, $ \displaystyle \overrightarrow{{OQ}}=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-5} \\ {14} \end{array}} \right)$ and $ \displaystyle \overrightarrow{{OR}}=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 9 \\ {12} \end{array}} \right)$, show that $ \displaystyle \Delta PQR$ is a right triangle.

Show/Hide Solution

$ \displaystyle \begin{array}{l}\ \ \ \ \ \overrightarrow{{OP}}=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-3} \\ 8 \end{array}} \right),\\\\\ \ \ \ \overrightarrow{{OQ}}=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-5} \\ {14} \end{array}} \right),\\\\\ \ \ \ \overrightarrow{{OR}}=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 9 \\ {12} \end{array}} \right),\\\\\therefore \ \ \overrightarrow{{PQ}}=\overrightarrow{{OQ}}-\overrightarrow{{OP}}\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-5} \\ {14} \end{array}} \right)-\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-3} \\ 8 \end{array}} \right)\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-2} \\ 6 \end{array}} \right)\\\\\therefore \ PQ=\sqrt{{{{{\left( {-2} \right)}}^{2}}+{{6}^{2}}}}=\sqrt{{40}}\\\\\ \ \ \ \overrightarrow{{QR}}=\overrightarrow{{OR}}-\overrightarrow{{OQ}}\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 9 \\ {12} \end{array}} \right)-\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-5} \\ {14} \end{array}} \right)\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {14} \\ {-2} \end{array}} \right)\\\\\therefore \ QR=\sqrt{{{{{14}}^{2}}+{{{\left( {-2} \right)}}^{2}}}}=\sqrt{{200}}\\\\\ \overrightarrow{{PR}}=\overrightarrow{{OR}}-\overrightarrow{{OP}}\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 9 \\ {12} \end{array}} \right)-\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-3} \\ 8 \end{array}} \right)\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {12} \\ 4 \end{array}} \right)\\\\\therefore \ \ PR=\sqrt{{{{{12}}^{2}}+{{4}^{2}}}}=\sqrt{{160}}\\\\\ \ \ \ P{{Q}^{2}}+P{{R}^{2}}=40+160=200\\\\\ \ \ \ Q{{R}^{2}}=200\\\\\therefore \ \ P{{Q}^{2}}+P{{R}^{2}}=\ Q{{R}^{2}}\\\\\therefore \ \ \Delta PQR\ \text{is a right triangle}\text{.}\end{array}$

7.        If the position vectors of the points $ \displaystyle A, B$ and $ \displaystyle C$ are $ \displaystyle 9\widehat{\text{i}}+6\widehat{\text{j}}$, $ \displaystyle 4\widehat{\text{i}}+3\widehat{\text{j}}$ and $\displaystyle -5\widehat{\text{i}}+8\widehat{\text{j}}$ respectively, show that the $ \displaystyle \Delta ABC$ is an obtuse triangle.

Show/Hide Solution

$ \displaystyle \begin{array}{l}\ \ \ \ \ \overrightarrow{{OA}}=9\widehat{\text{i}}+6\widehat{\text{j}}\\\\\ \ \ \ \ \overrightarrow{{OB}}=4\widehat{\text{i}}+3\widehat{\text{j}}\\\\\ \ \ \ \ \overrightarrow{{OC}}=-5\widehat{\text{i}}+8\widehat{\text{j}}\\\\\therefore \ \ \ \overrightarrow{{AB}}=\overrightarrow{{OB}}-\overrightarrow{{OA}}\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-5\widehat{\text{i}}-3\widehat{\text{j}}\\\\\therefore \ \ \ A{{B}^{2}}={{\left( {-5} \right)}^{2}}+{{\left( {-3} \right)}^{2}}=34\\\\\therefore \ \ \ \overrightarrow{{BC}}=\overrightarrow{{OC}}-\overrightarrow{{OB}}\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-9\widehat{\text{i}}+5\widehat{\text{j}}\\\\\therefore \ \ \ B{{C}^{2}}={{\left( {-9} \right)}^{2}}+{{5}^{2}}=106\\\\\therefore \ \ \ \overrightarrow{{AC}}=\overrightarrow{{OC}}-\overrightarrow{{OA}}\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-14\widehat{\text{i}}+2\widehat{\text{j}}\\\\\therefore \ \ \ A{{C}^{2}}={{\left( {-14} \right)}^{2}}+{{2}^{2}}=200\\\\\therefore \ \ \ A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=140\\\\\therefore \ \ \ A{{C}^{2}}>A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}\\\\\therefore \ \ \ \Delta ABC\ \text{is an obtuse triangle}\text{.}\end{array}$

8.        The position vectors of the points A, B, and C are $ \displaystyle \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 2 \end{array}} \right)$, $ \displaystyle \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3 \\ {-4} \end{array}} \right)$ and $ \displaystyle \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-1} \\ 4 \end{array}} \right)$ respectively. Prove that $ \displaystyle \Delta ABC$ is an isosceles right triangle.

Show/Hide Solution

$ \displaystyle \begin{array}{l}\ \ \ \overrightarrow{{OA}}=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 2 \end{array}} \right),\\\\\ \ \ \overrightarrow{{OB}}=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3 \\ {-4} \end{array}} \right),\\\\\ \ \ \overrightarrow{{OC}}=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-1} \\ 4 \end{array}} \right)\\\\\ \ \ \overrightarrow{{AB}}=\overrightarrow{{OB}}-\overrightarrow{{OA}}\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3 \\ {-4} \end{array}} \right)-\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 2 \end{array}} \right)\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-2} \\ {-6} \end{array}} \right)\\\\\therefore \ \ AB=\sqrt{{{{{\left( {-2} \right)}}^{2}}+{{{\left( {-6} \right)}}^{2}}}}=\sqrt{{40}}\\\\\ \ \ \overrightarrow{{BC}}=\overrightarrow{{OC}}-\overrightarrow{{OB}}\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-1} \\ 4 \end{array}} \right)-\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3 \\ {-4} \end{array}} \right)\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-4} \\ 8 \end{array}} \right)\\\\\therefore \ \ BC=\sqrt{{{{{\left( {-4} \right)}}^{2}}+{{8}^{2}}}}=\sqrt{{80}}\\\\\ \ \ \overrightarrow{{AC}}=\overrightarrow{{OC}}-\overrightarrow{{OA}}\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-1} \\ 4 \end{array}} \right)-\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 2 \end{array}} \right)\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-6} \\ 2 \end{array}} \right)\\\\\therefore \ \ AC=\sqrt{{{{{\left( {-6} \right)}}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\sqrt{{40}}\\\\\therefore \ \ AB=AC\\\\\ \ \ \ A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=40+40=80=B{{C}^{2}}\\\\\therefore \ \ \ \Delta ABC\ \text{is an isosceles right triangle}\text{.}\end{array}$

9.        $ \displaystyle OABC$ is a parallelogram such that $ \displaystyle \overrightarrow{{OA}}=5\widehat{\text{i}}+3\widehat{\text{j}}$ and $ \displaystyle \overrightarrow{{OC}}=-2\widehat{\text{i}}+\widehat{\text{j}}$. Find the unit vector in the direction of $ \displaystyle \ \overrightarrow{{OB}}$ and $ \displaystyle \ \overrightarrow{{AC}}$.

Show/Hide Solution


$ \displaystyle \begin{array}{l}\ \ \ \ \ \overrightarrow{{OA}}=5\widehat{\text{i}}+3\widehat{\text{j}}\\\\\ \ \ \ \ \overrightarrow{{OC}}=-2\widehat{\text{i}}+\widehat{\text{j}}\\\\\ \ \ \ \ OABC\ \text{is a parallelogram}.\\\\\therefore \ \ \ \overrightarrow{{OB}}=\overrightarrow{{OA}}+\overrightarrow{{OC}}\ \ \ \left( {\because \text{parallelogram rule}\text{.}} \right)\\\\\ \ \ \ \ \overrightarrow{{OB}}=5\widehat{\text{i}}+3\widehat{\text{j}}-2\widehat{\text{i}}+\widehat{\text{j}}=3\widehat{\text{i}}+4\widehat{\text{j}}\\\\\therefore \ \ \ OB=\sqrt{{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}}=5\\\\\therefore \ \ \ \text{the unit vector in }\\\ \ \ \ \ \text{the direction of}\ \overrightarrow{{OB}}=\displaystyle \frac{{\overrightarrow{{OB}}}}{{OB}}\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\displaystyle \frac{1}{5}\left( {3\widehat{\text{i}}+4\widehat{\text{j}}} \right)\\\\\ \ \ \ \ \ \text{Again}\ \overrightarrow{{AC}}=\overrightarrow{{OC}}-\overrightarrow{{OA}}\\\ \ \\\ \ \ \ \ \overrightarrow{{AC}}=\left( {-2\widehat{\text{i}}+\widehat{\text{j}}} \right)-\left( {5\widehat{\text{i}}+3\widehat{\text{j}}} \right)=-7\widehat{\text{i}}-2\widehat{\text{j}}\\\\\therefore \ \ \ AC=\sqrt{{{{{\left( {-7} \right)}}^{2}}+{{{\left( {-2} \right)}}^{2}}}}=\sqrt{{53}}\\\\\therefore \ \ \ \text{the unit vector in }\\\ \ \ \ \ \text{the direction of}\ \overrightarrow{{AC}}=\displaystyle \frac{{\overrightarrow{{AC}}}}{{AC}}\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{{53}}}}\left( {-7\widehat{\text{i}}-2\widehat{\text{j}}} \right)\end{array}$

10.       Given that the position vectors of the points $ \displaystyle A, B$ and $ \displaystyle C$ relative to origin $ \displaystyle O$ are $ \displaystyle -\widehat{\text{i}}+\widehat{\text{j}}$, $ \displaystyle 5\widehat{\text{i}}+\widehat{\text{j}}$ and $ \displaystyle p\widehat{\text{i}}+q\widehat{\text{j}}$ respectively. If $ \displaystyle \Delta ABC$ is equilateral, find the possible values of $ \displaystyle p$ and $ \displaystyle q$.

Show/Hide Solution
$ \displaystyle \begin{array}{l}\ \ \ \ \ \overrightarrow{{OA}}=-\widehat{\text{i}}+\widehat{\text{j}}\\\\\ \ \ \ \ \overrightarrow{{OB}}=5\widehat{\text{i}}+\widehat{\text{j}}\\\\\ \ \ \ \ \overrightarrow{{OC}}=p\widehat{\text{i}}+q\widehat{\text{j}}\\\\\therefore \ \ \ \overrightarrow{{AB}}=\overrightarrow{{OB}}-\overrightarrow{{OA}}\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =6\widehat{\text{i}}\\\\\therefore \ \ \ AB=6\\\\\ \ \ \ \ \overrightarrow{{BC}}=\overrightarrow{{OC}}-\overrightarrow{{OB}}\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( {p-5} \right)\widehat{\text{i}}+\left( {q-1} \right)\widehat{\text{j}}\\\\\ \ \ \ \ BC=\sqrt{{{{{\left( {p-5} \right)}}^{2}}+{{{\left( {q-1} \right)}}^{2}}}}\\\\\ \ \ \ \ \overrightarrow{{AC}}=\overrightarrow{{OC}}-\overrightarrow{{OA}}\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( {p+1} \right)\widehat{\text{i}}+\left( {q-1} \right)\widehat{\text{j}}\\\\\ \ \ \ \ AC=\sqrt{{{{{\left( {p+1} \right)}}^{2}}+{{{\left( {q-1} \right)}}^{2}}}}\\\\\ \ \ \ \ \text{Since }\Delta ABC\ \text{is equilateral,}\\\\\ \ \ \ \ AB=BC=AC=6.\\\\\therefore \ \ \sqrt{{{{{\left( {p-5} \right)}}^{2}}+{{{\left( {q-1} \right)}}^{2}}}}=6\\\\\ \ \ \ {{\left( {p-5} \right)}^{2}}+{{\left( {q-1} \right)}^{2}}=36\\\\\ \ \ \ {{p}^{2}}+{{q}^{2}}-10p-2q=10\ ---(1)\\\\\ \ \ \ \text{Similarly,}\\\\\ \ \ \ \sqrt{{{{{\left( {p+1} \right)}}^{2}}+{{{\left( {q-1} \right)}}^{2}}}}=6\\\\\ \ \ \ {{\left( {p+1} \right)}^{2}}+{{\left( {q-1} \right)}^{2}}=36\\\\\ \ \ \ {{p}^{2}}+{{q}^{2}}+2p-2q=34\ ---(2)\\\\\ \ \ \ \text{By (2)}-\text{(1),}\\\text{ }\\\ \ \ \ 12p=24\\\\\therefore \ \ p=2\\\\\ \ \ \ \text{Substituting}\ p=2\text{ in (1),}\\\text{ }\\\therefore \ \ 4+{{q}^{2}}-20-2q=10\\\ \\\ \ \ \ {{q}^{2}}-2q=26\\\\\ \ \ \ {{q}^{2}}-2q+1=27\\\\\ \ \ \ {{(q-1)}^{2}}=27\\\\\ \ \ \ q-1=\pm \sqrt{{27}}\\\\\ \ \ \ q=1\pm 3\sqrt{3}\end{array}$


သင်္ချာဘာသာရပ်ကို သင်ယူနေကြသော တက္ကသိုလ်ဝင်တန်း ကျောင်းသား ကျောင်းသူများ၊ သင်္ချာဘာသာ ရပ်သင် ဆရာ၊ဆရာမများ လက်ကိုင်ပြုထားသင့်သော စာအုပ်သုံးအုပ်ကို ညွှန်းဆိုပါရစေ။

(၁) Online ပေါ်က ပုစ္ဆာများ




MATH group များတွင် သမ္ဘာ၊ ဝါမြင့်မားပြီး ပညာရည်ပြည့်ဝသည့် ဆရာကြီးများက လေ့လာရန် တင်ပေးခဲ့သော ပုစ္ဆာကောင်းများကို ပြန်လည်စုဆည်းပြီး အဖြေနှင့်တကွ ပြည်စုံစွာ တင်ပြထားသော စာအုပ်ကောင်း တစ်အုပ် ဖြစ်ပါသည်။ 

Olympiad ပြိုင်ပွဲများတွင် မေးခဲ့ဘူးသော ပုစ္ဆာကောင်းများ၊ အခြားမှတ်သားဖွယ်ရာပုစ္ဆာများကို ရှင်းလင်းသော ဖြေဆိုချက်များ ပြတ်သားထင်ရှားသော diagram များ ဖြင့် စိတ်ဝင်စားဖွယ်ရာ တင်ပြထားသော စာအုပ်ကောင်း တစ်အုပ် ဖြစ်ပါသည်။ သင်္ချာဝါသနာရှင်များ၊ သင်္ချာကို ထူးခွန်လိုသော ကျောင်းသားကျောင်းသူများ၊ ပြိုင်ပွဲဝင်သင်္ချာ မေးခွန်းများကို စိတ်ဝင်စားသော ဆရာ၊ဆရာမများ မဖြစ်မနေ လက်စွဲပြုထားရမည့် စာအုပ်ကောင်း တစ်အုပ်ဖြစ်ပါသည်။ 

ဆက်သွယ်မှာ ယူရန်

ဆရာ ကျော်ဇေမြင့်
ဆရာလှ
ဆရာ တင်နိုင်ဝင်း (ရွှေမိုး Online စာပေ)
ဆရာမ ဒေါ်ချယ်မြေ့ခင် 

(သက်ဆိုင်ရာ ဆရာများ၏ နာမည်ကို နှိပ်လိုက်လျှင် ၎င်းတို့၏ facbook profile ကို ရောက်သွားပြီး Messanger မှာ မှာယူနိုင်ပါသည်။)

(၂) တက္ကသိုလ်ဝင်တန်း စာမေးပွဲ မေးခွန်းဟောင်းများ စုဆည်းမှု



မိုးကောင်းမြို့   ၊ပိုင်ကိုယ်ပိုင်အထက်တန်းကျောင်း၊ တည်ထောင်သူ ဆရာမောင်ချမ်းသာ မှ စေတနာကောင်း များစွာဖြင့် စုစည်းပေးထားသော တက္ကသိုလ်ဝင်တန်း ကျောင်းသား လက်ဆွဲ စာအုပ်ကောင်း တစ်အုပ်ဟု ဆိုချင်ပါသည်။ 

ပွဲမဝင်ခင် အပြင်ကကျင်းပ ဆိုသည့်စကားအတိုင်း  တက္ကသိုလ်ဝင်တန်း စာမေးပွဲကို ဝင်ရောက် ဖြေဆို ကြမည့် ကျောင်းသား/သူများသည် စားမေးပွဲ အသီးသီးတွင် မည်သို့သော မေးခွန်းများကို မေးခဲ့ဘူး သည် ဆိုသည်ကို သေချာစွာ လေ့လာမှတ်သား လေ့ကျင့်ထားရန် အရေးကြီးသည်ဆိုသည်မှာ အထူးပြောရန် မလိုဟု ထင်မိပါသည်။ 

ယနေ့စာအုပ်ပေါင်းများစွာ ထွက်ရှိနေသော်လည်း လက်ရှိ ကိုယ်ပိုင်ကျောင်းကို ကိုယ်တည်တည်ထောင်ပြီး ဘာသာရပ်ကို ကိုယ်တိုင်သင်ကြားနေသည့် ဆရာတစ်ယောက်၏ အတွေ့အကြုံနှင့် စေတနာပေါင်းစပ် ထားသော စာအုပ်က ကျောင်းသားတို့ အတွက် မည်မျှအထောက်အကူ ပြုနိုင်သည်ဆိုသည်မှာ အထူးညွှန်းဆို ဖွယ်မရှိပြီ။ 

မေးခွန်းဟောင်းများကို အခန်းအလိုက်၊ နှစ်အလိုက် ပုံစံတူများကို စနစ်တကျ ကျစ်ကျစ်လျစ်လျစ် စုဆည်းမှုက ကျောင်းသားတို့ လက်ဆွဲပြု အားထားရမည့် စာအုပ်ကောင်း တစ်အုပ် ဖြစ်ပါကြောင်း...။

ဆက်သွယ်မှာ ယူရန်

ဆရာ မောင်ချမ်းသာ
ဆရာလှ
ဆရာ တင်နိုင်ဝင်း (ရွှေမိုး Online စာပေ)
ဆရာမ ဒေါ်ချယ်မြေ့ခင် 

(သက်ဆိုင်ရာ ဆရာများ၏ နာမည်ကို နှိပ်လိုက်လျှင် ၎င်းတို့၏ facbook profile ကို ရောက်သွားပြီး Messanger မှာ မှာယူနိုင်ပါသည်။)

(၃) စက်ဝိုင်း



 MTG (Mathematics Teachers' Group) က စီစဉ်ပြုစုခဲ့သော တက္ကသိုလ်ဝင်တန်း သင်္ချာ အခန်း (8) စာအုပ်ဖြစ်ပါသည်။ စက်ဝိုင်းဆိုသည်နှင့် ကျောင်းသားများ အဝိုင်းလည်ချင် နေသည်မှာ သင်ကြားနေသော ဆရာများ ကိုယ်တိုင် ကြုံတွေ့နေရသည့် ပြသနာတရပ် ဖြစ်ပါသည်။ အကြောင်းအရင်းက အခြေခံ အားနည်းခြင်း၊ ကိုယ်လေ့ကျင့်မှု အားနည်းခြင်း၊ သင်ခန်းစာ အပေါ် ကောင်းစွာနားမလည်ခြင်း၊ စသည့် အခက်အခဲများကြောင့် ကျောင်းသားတို့ ဖြေဆိုရန် စိုးရိမ်တတ်သော သင်ခန်းစာ ဖြစ်ပါသည်။ 

ယင်း အခက်အခဲများကို ဖြေရှင်းပေးနိုင်ရန် အတွက် ဤစာအုပ်ကို MTG မှ စီစဉ်ပြုစု ခဲ့ပါသည်။ အလယ်တန်း အဆင့်တွင် သင်ယူပြီးသော geometry ဆိုင်ရာ သီအိုရမ် နှင့်အဓိပ္ပာယ် သတ်မှတ်ချက်များ၊ မှန်ကန်ချက်များ ၊ ဘာသာရပ်ဆိုင်ရာ အခေါ်အဝေါ်များ (terminology) များကို စနစ်တကျ ထည့်သွင်း ပေးထားပြီး သင်ရိုးပါ အခန်း (၈) လေ့ကျင့်ခန်းနှင့် ဥပမာပုစ္ဆာများ အပြင် ထပ်ဆင့်လေ့လာသင့်သည့် မေးခွန်းကောင်းများကိုလည်း ပေါင်းစပ်အားဖြည့် ထားသဖြင့် ဆရာ ကျောင်းသား လက်ကိုင်ထားသင့်သော စာအုပ်ကောင်း တစ်အုပ်ဖြစ်သည် ဟု ဆိုချင်ပါသည်။

ဆက်သွယ်မှာ ယူရန်

ဆရာလှ 
ဆရာမ ဒေါ်ချယ်မြေ့ခင်  
 
(သက်ဆိုင်ရာ ဆရာများ၏ နာမည်ကို နှိပ်လိုက်လျှင် ၎င်းတို့၏ facbook profile ကို ရောက်သွားပြီး Messanger မှာ မှာယူနိုင်ပါသည်။)