Combination (Part - 1)

Ph မျက်နှာပြင်တွင် စာများအပြည့် မပေါ်လျှင် slider ကို ဆွဲ၍ လည်းကောင်း၊ ph ကို အလျားလိုက်ပုံစံ (landscape position) ပြောင်း၍ လည်းကောင်း ဖတ်ရှုနိုင်ပါသည်။

COMBINATION

A combination is a selection of objects without regard to order or arrangement. The different groups or selections of a number of things taken some or all of them at a time are called combinations.

Combination နှင့် Permutation မတူညီသော အချက်မှာ

  • အစုတစ်ခုအတွင်းမှာ အစုပိုင်းတစ်ခုကို ရွေးချယ်လိုက်သည် ဆိုပါစို့…။
  • Permutation သည် ရွေးချယ်လိုက်သော အစုပိုင်းအတွင်းရှိ အစုဝင်တစ်ခုချင်းစီ၏ အစီအစဉ်ကို ထည့်သွင်း စဉ်းစားသည်။
  • Combination သည် ရွေးချယ်လိုက်သော အစုပိုင်းအတွင်းရှိ အစုဝင်တစ်ခုချင်းစီ၏ အစီအစဉ်ကို ထည့်သွင်း စဉ်းစားခြင်း မရှိပါ။
အောက်ပါ ဥပမာကို လေ့လာကြည့်ကြမည်။

A, B, C, D နှင့် E ကျောင်းသား ၅ ယောက်ထဲမှ ကျောင်းသား ၂ ယောက်ပါသော ကိုယ်စားလှယ်အဖွဲ့ ဖွဲ့ရန်လိုအပ်သည်။

(a) ပ-ကိုယ်စားလှယ်၊ ဒု-ကိုယ်စားလှယ် ကျောင်းသား ၂ ယောက်ပါသော ကိုယ်စားလှယ် အဖွဲ့ပေါင်း မည်မျှ ဖွဲ့နိုင်သနည်း။

(b) ကျောင်းသား ၂ ယောက်ပါသော ကိုယ်စားလှယ် အဖွဲ့ပေါင်း မည်မျှ ဖွဲ့နိုင်သနည်း။

မေးခွန်း (a) တွင် ပ-ကိုယ်စားလှယ်၊ နှင့် ဒု-ကိုယ်စားလှယ် ဟူ၍ ခွဲခြားမေးထားသည်။ ထို့ကြောင့် မည်သူက ပ-ကိုယ်စားလှယ် ဖြစ်မည်၊ မည်သူက ဒု-ကိုယ်စားလှယ် ဖြစ်မည်၊ ဆိုသော အစီအစဉ်သည် အရေးပါသည်ကို တွေ့ရပါမည်။

မေးခွန်း (b) တွင် ကျောင်းသား ၂ ယောက်ပါသော ကိုယ်စားလှယ် အဖွဲ့ပေါင်းဟု မေးထားသည်။ ကိုယ်စားလှယ်အဖွဲ့၌ ကျောင်းသားနှစ်ယောက် ပါဝင်ရန်သာလိုအပ်သည်။ ပထမကျောင်းသား၊ ဒုတိယကျောင်းသား၊ မည်သူမည်ဝါ ဖြစ်ရမည်ဆိုသော သတ်မှတ်ချက်သည် အရေးမပါတော့ပါ။

ထို့ကြောင့် မေးခွန်း (a) အတွက် တွဲနိုင်သော အစီအစဉ်ပေါင်းမှာ $20$ ဖြစ်ပြီး၊ မေးခွန်း (B) အတွက် တွဲနိုင်သော အစီအစဉ်ပေါင်းမှာ $10$ ဖြစ်သည်။

အောက်ပါဇယားဖြင့် ယှဉ်တွဲလေ့လာကြည့်ပါ။

A B C D E
A AB AC AD AE
B BA BC BD BE
C CA CB CD CE
D DA DB DC DE
E EA EB EC ED


မေးခွန်း (a) သည် အစီအစဉ် အရေးပါသောကြောင့် permutation ဖြစ်ပြီး မေးခွန်း (b) တွင် ကျောင်းသားနှစ်ယောက်၏ အစီအစဉ် အရေးမပါတော့ သောကြောင့် combination ဖြစ်သည်။

COMBINATION OF $n$ OBJECTS TAKEN $r$ AT A TIME

The number of combinations of $n$ different things taken $r$ at a time is denoted by ${}^nC_r$ and is defined as                                  

$\begin{array}{|c|} \hline ^{n}{{C}_{r}}=\displaystyle\frac{{n!}}{{r!}{(n-r)!}}\\ \hline\end{array}$

DIFFERENCE BETWEEN PERMUTATION AND COMBINATION

Permutation Combination
Permutation is defined as arrangement of r things that can be done out of total n things. Combination is defined as selection of r things that can be done out of total n things.
Represents arrangement. Represents grouping or selection
Order of objects or arrangement matter Order of grouping/selection does not matter
Denoted by $^{n}{{P}_{r}}=\displaystyle\frac{{n!}}{{(n-r)!}}$ Denoted by $^{n}{{C}_{r}}=\displaystyle\frac{{n!}}{{r!}{(n-r)!}}$
Many permutations can be derived from a single combination. Only one combination can be derived with one permutation.

အောက်ပါ video ဖြင့် ယှဉ်တွဲလေ့လာကြည့်ပါ။

Video Credit : Steve Stein


Example (1)

(a).          A local school board with 8 people needs to form a committee with three people. How many ways can this committee be formed?

Order of 3 people doesn't matter. Thus, it is combination.


Number of ways to constitute a committee

$\begin{array}{l} ={\ }^{8}{{C}_{3}}\\\\ =\displaystyle\frac{{8!}}{{3!}{(8-3)!}}\\\\ =\displaystyle\frac{{8!}}{{3!}{5!}}\\\\ = \displaystyle\frac{{8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1}}{{(3\times2\times1)}\cdot{(5\times4\times3\times2\times1)}}\\\\ =56 \end{array}$

(b).          A local school board with 8 people needs to form a committee with three different responsibilities. How many ways can this committee be formed?

Order of 3 people matter for their responsibilities. Thus, it is permutation.


Number of ways to constitute a committee.

$\begin{array}{l} ={\ }^{8}{{P}_{3}}\\\\ =\displaystyle\frac{{8!}}{{(8-3)!}}\\\\ =\displaystyle\frac{{8!}}{{5!}}\\\\ = \displaystyle\frac{{8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1}}{{5\times4\times3\times2\times1}}\\\\ =336 \end{array}$



PROPERTIES OF COMBINATIONS                                                    

$\begin{array}{|c|}\hline\color{red}{ 1. {\ }^{n}{C}_{r}={\ }^{n}{C}_{n-r}}\\\hline\end{array}$

Proof:
$\begin{aligned} \mathrm{LHS}&={ }^{n} C_{r}=\frac{n !}{r !(n-r) !} \\\\ \mathrm{RHS} &={ }^{n} C_{n-r}=\frac{n !}{(n-r) !(n-(n-r)) !} \\\\ &=\frac{n !}{(n-r) ! r !} \\\\ \therefore \mathrm{LHS} &=\mathrm{RHS} \\\\ \text { Note: }& 1. {\ }^{n} C_{x}={ }^{n} C_{y} \Rightarrow x= y \text { or } x+y=n\\\\ & 2. {\ }^{n} C_{0}={ }^{n} C_{n}=1\\\\ & 3. {\ }^{n} C_{1}={ }^{n} C_{n-1}=n\\\\ \end{aligned}$

$\begin{array}{|c|}\hline \color{red}{2. {\ }^{n} C_{r}+{ }^{n} C_{r-1}={ }^{n+1} C_{r}}\\\hline\end{array}$

Proof:

$\begin{aligned} \mathrm{LHS} &={ }^{n} C_{r}+{ }^{n} C_{r-1} \\\\ &=\frac{n !}{r !(n-r) !}+\frac{n !}{(r-1) !(n-r+1) !} \\\\ &=\frac{n !}{r !(n-r) !} \times \frac{(n-r+1)}{(n-r+1)}+\frac{n !}{(r-1) !(n-r+1) !} \times \frac{r}{r} \\\\ &=\frac{n !(n-r+1)}{r !(n-r+1) !}+\frac{r \times n !}{r !(n-r+1) !}[n !=n(n-1) !] \\\\ &=\frac{n !(n+1)-r \times n !+r \times n !}{r !(n-r+1) !} \\\\ &=\frac{(n+1) !}{r !(n-r+1) !} \\\\ \operatorname{RHS} &={ }^{n+1} C_{r}\\\\ &=\frac{(n+1) !}{r !(n+1-r) !} \\\\ &=\frac{(n+1) !}{r !(n-r+1) !} \\\\ \therefore\ \mathrm{LHS} &=\mathrm{RHS} \end{aligned}$

$\begin{array}{|c|}\hline \color{red}{3. {\ }^{n} C_{r}=\displaystyle\frac{n_{n-1}}{r} C_{r-1}=\frac{n(n-1)_{n-2}}{r(r-1)} C_{r-2}=\ldots}\\\hline\end{array}$

Proof:
$\begin{aligned} { }^{n} C_{r}&=\frac{n(n-1)(n-2) \ldots(n-r+1)}{1 \times 2 \times 3 \times \ldots(r-2)(r-1) r}\\\\ &=\frac{n}{r} \times \frac{(n-1)(n-2) \ldots(n-r+1)}{1 \times 2 \times 3 \times \ldots(r-2)(r-1)}\\\\ &=\frac{n}{r}\cdot{ }^{n-1} C_{r-1}\\\\ { }^{n} C_{r}&=\frac{n(n-1)(n-2) \ldots(n-r+1)}{1 \times 2 \times 3 \times \ldots(r-2)(r-1) r}\\\\ &=\frac{n(n-1)}{r(r-1)} \times \frac{(n-2) \ldots(n-r+1)}{1 \times 2 \times 3 \times \ldots(r-2)}\\\\ &=\frac{n(n-1)}{r(r-1)}\cdot{ }^{n-2} C_{r-2}\\\\ &\text{and so on.} \end{aligned}$