Introduction to Permutations (Part 1)

COUNTING PRINCIPLES

ရေတွက်ခြင်း (counting) ကို ကျွန်ုပ်တို့ နေ့စဉ်ဆောင်ရွက်နေကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့်…

 • တစ်ပတ် ဘယ်နှစ်ရက် ရုံးတက်ရသလဲ…။ 

• တစ်နေ့ အသုံးစရိတ် ဘယ်လောက်ရှိသလဲ။ 

• ကျောင်းခန်းထဲမှာ ကျောင်းသားအရေ အတွက် ဘယ်လောက်ရှိသလဲ။

စသည်တို့သည် နေ့စဉ် ဆောင်ရွက်နေကျ ရေတွက်ခြင်း လုပ်ငန်းစဉ်များ ဖြစ်ကြသည်။

သို့ရာတွင် ဖြစ်ရပ်များ ပေါင်းစပ် ရေတွက်ရသော ပုံစံများသည် သာမန် ရေတွက်ခြင်းကဲ့သို့ ရိုးရှင်းလွယ်ကူခြင်း မရှိတော့ပေ။ ဥပမာအားဖြင့်

• ထမင်းဆိုင်တွင် အသားဟင်း ဆယ်မျိုးနှင့် အသီးအရွက်ဟင်း ရှစ်မျိုးရှိသည်။ အသားဟင်းနှစ်မျိုး အသီးအရွက် နှစ်မျိုးမှာယူခွင့် ရှိသော် မှာယူခွင့် ရှိသောနည်းလမ်း မည်မျှရှိသနည်း။

• ဘောလုံးသင်း ၁၆ သင်းကို လေးသင်းစီ လေးအုပ်စုခွဲလျှင် ဖြစ်နိုင်သောနည်းလမ်း မည်မျှရှိသနည်း။

စသော အခြေအနေမျိုးများတွင် ရေတွက်ခြင်း လုပ်ငန်းစဉ်များမှာ ရိုးရှင်းလွယ်ကူမှု မရှိတော့ပေ။ အထက်ပါ ရေတွက်ခြင်းမျိုးများအတွက် ဖြစ်နိုင်သော နည်းလမ်းများ ရှာယူရန် အောက်ပါ ဥပဒေသများကို သိရှိထားရပေမည်။

THE PRODUCT PRINCIPLE (AND RULE)

The number of ways of in which both choice $A$ and choice $B$ can be made is the product of the number of options for $A$ and the number of options for $B$.
$n(A\ \text{AND}\ B) = n(A) \times n(B)$

ဖြစ်ရပ် $A$ ဖြစ်နိုင်သော အရေအတွက် = $n(A)$ နှင့် ဖြစ်ရပ် $B$ ဖြစ်နိုင်သော အရေအတွက် = n(B) ဟု သတ်မှတ်မည်။ ထိုသို့ဆိုလျင် ဖြစ်ရပ် $A$ နှင့် ဖြစ်ရပ် $B$ နှစ်ခုတွဲဖြစ်ရပ် (နှစ်ခု တပြိုင်နက်) ဖြစ်နိုင်သော အရေအတွက်မှာ $n(A)\times n(B)$ ဖြစ်သည်။

ဖြစ်ရပ် တစ်ခုသည် တစ်ခုကိုတစ်ခု မှီခို ဆက်စပ်နေလျှင် (ဖြစ်ရပ် တစ်ခုဖြစ်လျှင် အခြားဖြစ်ရပ်တစ်ခု မဖြစ်နိုင်တော့သည့် အခြေအနေ) mutually exclusive events ဟု ခေါ်သည်။

ဥပမာ။ ဘတ်(စ)ကားစီး၍ ရုံးသို့သွားခြင်း၊ taxi စီး၍ ရုံးသို့သွားခြင်း၊ စာမေးပွဲအောင်ခြင်း၊ စာမေးပွဲကျခြင်း၊

THE ADDITION PRINCIPLE (OR RULE)

The number of ways of in which either choice $A$ or choice $B$ can be made is the sum of the number of options for $A$ and the number of options for $B$.

If A and B are mutually exclusive then
$n(A\ \text{OR}\ B) = n(A) + n(B)$

ဖြစ်ရပ် $A$ ဖြစ်နိုင်သော အရေအတွက် =$n(A)$ နှင့် ဖြစ်ရပ် $B$ ဖြစ်နိုင်သော အရေအတွက် = $n(B)$ ဟု သတ်မှတ်မည်။ ထိုသို့ဆိုလျင် ဖြစ်ရပ် $A$ နှင့် ဖြစ်ရပ် $B$ တစ်ခုမဟုတ်တစ်ခု ဖြစ်နိုင်သော နည်းလမ်းပေါင်းမှာ $n(A) + n(B)$ ဖြစ်သည်။

FACTORIAL NOTATION

Factorial notation uses an exclamation mark ! as a short way to write the product of consecutive positive integers.

ဆက်တိုက်ဖြစ်သော အပေါင်းကိန်းပြည့်များ မြှောက်ခြင်းကို factorial ဟု ခေါ်သည်။ မှတ်ရလွယ်ကူစေရန် အတွက် အပေါင်းကိန်းပြည့်များကို ကြီးစဉ်ငယ်လိုက် စီလေ့ရှိသည်။

Examples

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ [$3!$ = 3 factorial ဟုဖတ်သည်။]

$10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 3628800$

$n! = n (n – 1)(n – 2)(n – 3)… 3 \times 2 \times 1$

Note: $0! = 1, 1! = 1, n! = n (n – 1)!$

နမူနာပုစ္ဆာ တစ်ပုဒ် လေ့လာကြည့်ကြမည်။

သင့်တွင် အရောင်မတူသော T-Shirt ငါးထည်ရှိသည်။ တစ်နေ့တစ်ရောင် နှုန်းဖြင့် အရောင်မထပ်ပဲ ငါးရက်ဆက်တိုက် ဝတ်ဆင်လိုသော် ဝတ်ဆင်နိုင်သောနည်းလမ်း မည်မျှရှိသနည်း။

ပထမနေ့ ရွေးချယ်နိုင်သော အရေအတွက် = $5$ (ကြိုက်ရာ ရွေးချယ်နိုင်သည်)

ဒုတိယနေ့ ရွေးချယ်နိုင်သော အရေအတွက် = $4$ (ပထမနေ့ ဝတ်ထားသော တစ်ရောင် ပယ်)

တတိယနေ့ ရွေးချယ်နိုင်သော အရေအတွက် = $3$ (ရှေ့နှစ်ရက် ဝတ်ထားသော နှစ်ရောင် ပယ်)

စတုတ္ထနေ့ ရွေးချယ်နိုင်သော အရေအတွက် = $2$ (ရှေ့သုံးရက် ဝတ်ထားသော သုံးရောင် ပယ်)

ပဉ္စမနေ့ ရွေးချယ်နိုင်သော အရေအတွက် = $1$ (တစ်ရောင်တည်းသာ ကျန်)

စုစုပေါင်း ရွေးချယ် ဝတ်ဆင်နိုင်သော နည်းလမ်း = $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ ways

ထို့ကြောင့် စုစုပေါင်း ရွေးချယ် ဝတ်ဆင်နိုင်သော နည်းလမ်း = $5!$ ways



Example (1)

There are four roads from town $A$ to town $B$, and three roads from town $B$ to town $C$. How many different ways are there to travel by road from $A$ to $B$ to $C$?

$A$ မှ $B$ သို့ သွားနိုင်သော လမ်းလေးသွယ်ရှိပြီး၊ $B$ မှ $C$ သို့ သွားနိုင်သော လမ်းသုံးသွယ် ရှိလျှင် $A$ မှ $B$ ကို ဖြတ်ပြီး $C$ သို့ သွားနိုင်သော လမ်းကြောင်း မည်မျှ ရှိသနည်း။



$\therefore$ Number of ways to travel by road from $A$ to $B$ to $C$ = $4 \times 3 = 12$ ways.


Example (2)

An examination has ten questions in section A and four questions in section B. How many different ways are there to choose questions if you must:

(a) choose one question from each section?

(b) choose a question from either section A or section B?

စာမေးပွဲမေးခွန်း တစ်ခုတွင် section A ၌ မေးခွန်း (၁၀)ပုဒ်ပါဝင်ပြီး section B ၌ မေးခွန်း (၄)ပုဒ် ပါဝင်သော်

(a) အပိုင်းတစ်ခုမှ မေးခွန်း တစ်ပုဒ်စီ ဖြေရမည် ဆိုလျှင် ဖြေဆိုနိုင်သော နည်းလမ်း မည်မျှရှိသနည်း။

(b) နှစ်သက်ရာ အပိုင်းမှ မေးခွန်းတစ်ပုဒ်သာ ဖြေရမည်ဆိုလျှင် ဖြေဆိုနိုင်သော နည်းလမ်း မည်မျှရှိသနည်း။

(a)     choosing one question from section A = 10 ways

          choosing one question from section B = 4 ways

$\quad\quad \text{choosing one question from each section}$

$\quad= \text{choosing one question each from section}$

$\quad\quad A\ \text{AND section}\ B$

$\quad= 10 \times 4 $

$\quad= 40\ \text{ways.} $

$\text{(b) choosing a question from either section}$

$\quad\quad A\ \text{OR section}\ B= 10 + 4 = 14\ \text{ways.}$


Example (3)

Find the unit digit of $1! + 2! + 3! + 4! + … + 10!$.

For $n\ge 5, n!$ cotains a factor $(5\times 2)$ or $10$.

Thus, For $n\ge 5$, n! is a multiple of $10$ and its unit digit is always $0$.                                                                                                   

$\therefore \quad$ the unit digit of $1! + 2! + 3! + 4! + … + 10!$

$\quad = $ the unit digit of $1! + 2! + 3! + 4!$

$\quad = $ the unit digit of the sum $1 + 2 + 6 + 4 $

$\quad = 3$



EXERCISES

1.          If there are 10 ways of doing $A, 3$ ways of doing $B$ and 19 ways of doing $C$, how many ways are there of doing

(a) (i) both $A$ and $B ?$ (ii) both $B$ and $C ?$

(b) (i) either $A$ or $B ?$ (ii) either $A$ or $C ?$

2.          If there are 4 ways of doing $A, 7$ ways of doing $B$ and 5 ways of doing $C$, how many ways are there of doing

(a) all of $A, B$ and $C ?$

(b) exactly one of $A, B$ or $C ?$

3.          How many different paths are there

(a) from $A$ to $C ?$

(b) from $C$ to $E ?$

(c) from $A$ to $E ?$


4.          There are five roads from town $A$ to town $B$, and two roads from town $B$ to town $C$. In how many different ways can you travel by road from $A$ to $B$ to $C ?$

5.          Find $x,$ if $\displaystyle\frac{x}{5 !}+\displaystyle\frac{x}{6 !}=\displaystyle\frac{1}{7 !}$.


6.          Simplify $\displaystyle\frac{(2 n) !}{n !}$.

7.          If the product of factorials of $n$ consecutive positive integers be a single-digit number, find the maximum value of $n$.

8.          If the sum of the factorials of $N$ consecutive natural numbers be a three-digit number, find the maximum value of $N$.

9.          Find the number of positive integral solutions of $x+y=10$.


10.          A question paper has two sections $A$ and $B$ respectively. Section $A$ has 7 questions whereas section $B$ has 6 questions, respectively. In how many ways a student can attempt for a single question either from section $A$ or section $B ?$