Permutation (Part 2)

PERMUTATION

A permutation is an ordered selection or arrangement of all or part of a set of objects.

အစုတစ်ခုအတွင်းမှ အစုဝင်အားအားလုံး (သို့) အစုဝင်အချို့ကို နေရာချထားစီစဉ်မှုကို permutation ဟု ခေါ်သည်။


အောက်ပါ ဥပမာကို လေ့လာကြည့်ကြမည်။

အတန်းထဲတွင် ကျောင်းသားဆယ်ယောက်ရှိရာ တစ်ဦးကို အတန်းခေါင်းဆောင်အဖြစ် ရွေးချယ်ပြီး နောက်တစ်ဦးကို ဒုတိယ အတန်းခေါင်းဆောင်အဖြစ် ရွေးချယ်မည်ဆိုလျှင် ရွေးချယ်နိုင်သောနည်းလမ်း မည်မျှရှိမည်နည်း။

အတန်းခေါင်းဆောင် ဖြစ်နိုင်သော ကျောင်းသား အရေအတွက် = $10$ ယောက်

အတန်းခေါင်းဆောင် တစ်ယောက် ရွေးချယ်ပြီးပါက

ဒုတိယ အတန်းခေါင်းဆောင် ဖြစ်နိုင်သော ကျောင်းသားအရေအတွက် = $9$ ယောက်

ထို့ကြောင့် ရွေးချယ်နိုင်သော နည်းလမ်းပေါင်း = $10\times 9 = 90$

ရွေးချယ်နိုင်သော နည်းလမ်းပေါင်း ကို factorial expression ဖြင့် $\displaystyle\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$ (သို့) $\displaystyle\frac{10!}{8!}=\displaystyle\frac{10!}{(10-2)!}$ ဟု ဖော်ပြနိုင်ပါသည်။

၎င်းကို သင်္ကေတအားဖြင့် ${}^{10}{{P}_{2}}$ ဟု သတ်မှတ်ပါသည်။


PERMUTATION OF $n$ OBJECTS TAKEN $r$ AT A TIME WITHOUT REPETITION

The number of permutations of $n$ different things taken $r$ at a time is denoted as ${}^{n}{{P}_{r}}$ or $P(n, r)$ and is defined as :

${ }^{n} P_{r}=\displaystyle\frac{n !}{(n-r) !}=n(n-1)(n-2) \ldots(n-r+1)$

where

$\bullet\quad n$ is a natural number

$\bullet\quad r$ is a whole number

$\bullet\quad r\le n$

မတူညီသောအရာဝတ္ထု $n$ ခုထဲမှ $r$ ခုကို ထုတ်ယူလျှင် ထုတ်ယူနိုင်သော နည်းလမ်းပေါင်း ကို ${}^{n}{{P}_{r}}$ ဟု သတ်မှတ်သည်။

NOTE : ${ }^{n} P_{n} = n!$

PERMUTATION WITH REPETITION

The number of permutations of $n$ different things taken $r$ at a time, when each can be repeated any number of times is $n^r$.

Example (1)

(a)          In how many ways can a first, second and third prize be awarded in a class of 10 students?

ကျောင်းသား 10 ယောက် ရှိသော သင်တန်းတစ်ခုတွင် ကျောင်းသား 3 ယောက်ကိုသာ ပထမ၊ ဒုတိယ၊ တတိယဆုများ ချီးမြှင့်မည်ဖြစ်ရာ ရွေးချယ်နိုင်သော အခြေအနေ မည်မျှရှိမည်နည်း။

(b)          In how many ways can a Mathematics prize, a Physics prize and a Chemistry prize be awarded in a class of 10 students?

ကျောင်းသား 10 ယောက် ရှိသော သင်တန်းတစ်ခုတွင် သင်္ချာ၊ ရူပ၊ ဓါတု ထူးချွန်ဆုများ ချီးမြှင့်မည်ဖြစ်ရာ ဆုပေးနိုင်သော နည်းလမ်း မည်မျှရှိမည်နည်း။

Solution

(a)          ကျောင်းသား 10 ယောက်ထဲမှ ကျောင်းသားသုံးယောက်ကိုသာ ပထမ၊ ဒုတိယ၊ တတိယဆုများ ချီးမြှင့်မည်ဖြစ်ရာ 10 ယောက်မှ 3 ယောက်ရွေးချယ်ခြင်းဖြစ်သည်။ ပြန်မထပ်ပါ။

$\therefore$ Number of ways $={ }^{10} P_{3}=10 \times 9 \times 8=720$

(b)          ကျောင်းသား 10 ယောက်ကို သင်္ချာ၊ ရူပ၊ ဓါတု ထူးချွန်ဆုများ ချီးမြင့်မည် ဖြစ်သည်။ မည်သူမဆို ဖြစ်နိုင်သောကြောင့် ပြန်ထပ်နိုင်ပါသည်။

သင်္ချာထူးချွန်ဆု ဆုရနိုင်သော ကျောင်းသားအရေအတွက် = 10

ရူပထူးချွန်ဆု ဆုရနိုင်သော ကျောင်းသားအရေအတွက် = 10

ဓါတုထူးချွန်ဆု ဆုရနိုင်သော ကျောင်းသားအရေအတွက် = 10

$\therefore$ Number of ways $=10^3=1000$.



Example (2)

How many three-digit numbers can be formed from the digits 1, 2, 3, and 4 if (i) repetition is allowed, (ii) repetition is not allowed.

Solution

(i)          If repetition is allowed,

number of 3-digit numbers $= 4^3 = 64$

(ii)          If repetition is not allowed,

number of 3-digit numbers $={ }^{4} P_{3} = 4 × 3 × 2 = 24$



PERMUTATION OF ALIKE OBJECTS

The number of permutations of $n$ objects with $n_1$ identical objects of type $1$, $n_2$ identical objects of type $21$,. . . , and $n_k$ identical objects of type $k$ is

$\displaystyle\frac{n !}{n ! n_{2} ! \cdots n_{k} !}$


$1, 3, 5$ ကို ဂဏန်းတစ်လုံးလျှင် တစ်ကြိမ်သာသုံးပြီးတွဲသော် အတွဲပေါင်းမည်မျှ ရှိသနည်း။

$135, 153, 315$, $351, 513, 531$ တို့ဖြစ်ကြသည်။

Permutation ဖြင့်ဖော်ပြသော်၊

ဂဏန်းသုံးလုံးရှိသည့် အနက် သုံးခုလုံး ရွေးချယ်နိုင်သော နည်းလမ်းပေါင်း $={ }^{3} P_{3}=3 !=6$ နည်းရှိပါသည်။

အကယ်၍ $1, 1, 5$ ကို ဂဏန်းတစ်လုံးလျှင် တစ်ကြိမ်သာသုံးပြီးတွဲသော် အတွဲပေါင်းမည်မျှ ရှိသနည်း။

$115, 151, 511$ တို့ဖြစ်ကြသည်။

အထက်ပါ ဥပမာကဲ့သို့ အရာဝတ္ထု $n$ ခု ထဲတွင် ပုံစံတူ အရာဝတ္ထု $p$ ခုရှိလျှင် အရာဝတ္ထု $n$ ခုကို ယှဉ်တွဲနိုင်သော နည်းလမ်းပေါင်းမှာ $\displaystyle\frac{n !}{p !}$ ဖြစ်သည်။ အထက်က ဥပမာကို ပြန်လည်စစ်ဆေး ကြည့်ပါမည်။

$1, 1, 5$ တွင်ပါဝင်သော ကိန်းလုံးအရေအတွက် $= 3$

$1, 1, 5$ တွင်ပါဝင်သော ပုံစံတူ (ထပ်နေသော) ကိန်းလုံး အရေအတွက် $= 2$

$1, 1, 5$ ကို ယှဉ်တွဲနိုင်သော နည်းလမ်း $=\displaystyle\frac{3 !}{2 !}=\displaystyle\frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1}=3$


Example (3)

How many distinct arrangements can be formed using all the letters of STATISTICS?                                                                 

Solution

       total number of letters = 10

       number of A's = 1

       number of C's = 1

       number of I's = 2

       number of S's = 3

       number of T's = 3

       number of arrangements

$\quad =\displaystyle\frac{10!}{3!\cdot3!\cdot2!}$

$\quad =\displaystyle\frac{3628800}{72}=50400$



Example (4)

How many different ways are there to color a $4\times 4$ grid with red, green, yellow and blue paints, using each color 4 times?


Solution

       total number of squares = 16

       number of red squares = 4

       nnumber of green squares = 4

       number of yellow squares = 4

       number of blue squares = 4

       number of arrangements

$\quad =\displaystyle\frac{16!}{4!\cdot4!\cdot4!\cdot4!}$

$\quad =63063000$



EXERCISES

1.          In how many ways can seven books be arranged in a row?

2.          How many different three-digit numbers can be formed using the digits 1, 2, 3, 5, 7

(a) once only?

(b) if digits can be repeated?

3.          The digits 0 to 9 are used to make 10-digit numbers (not beginning with zero). How many different numbers are possible if:

(a) each digit can be used only once,

(b) each digit can be used any number of times?

4.          In how many ways can a president, a treasurer and a secretary be chosen from among 7 candidates?

5.          A license plate begins with three letters. If the possible letters are A, B, C, D and E, how many different permutations of these letters can be made if no letter is used more than once?