Permutation (Part 3)

Ph မျက်နှာပြင်တွင် စာများအပြည့် မပေါ်လျှင် slider ကို ဆွဲ၍ လည်းကောင်း၊ ph ကို အလျားလိုက်ပုံစံ (landscape position) ပြောင်း၍ လည်းကောင်း ဖတ်ရှုနိုင်ပါသည်။

PERMUTATIONS WITH RESTRICTIONS

Example (1)

In how many ways can 5 boys and 4 girls be arranged on a bench if

(a) there are no restrictions?

(b) boys and girls in alternate arrangement?

(c) boys and girls are in separate groups?

(d) not all girls sit together?

(e) Thiha and Sandar wish to stay together?


(a)          ယောကျာ်းလေး (၅) ယောက်၊ မိန်းကလေး (၄) ယောက်ကို ခုံတန်းရှည်တစ်ခုတွင် ကျပမ်းထိုင်စေသော် ထိုင်နိုင်သည့် အစီစဉ်ပေါင်း မည်မျှရှိသနည်း။

ကန့်သတ်ချက်မရှိပါ။ စုစုပေါင်း (၉) ယောက်လုံးကို ထိုင်ခိုင်းစေခြင်း ဖြစ်သည်။

$\therefore\quad$ Number of arrangements $ = {}^{9}{{P}_{9}} = 9! = 362880$

(b)          ယောကျာ်းလေး နှင့် မိန်းကလေး တစ်လှည့်စီ ထိုင်စေသော် ထိုင်နိုင်သည့် အစီစဉ်ပေါင်း မည်မျှရှိသနည်း။

$\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|} \hline \color{red}B_{1} & \color{blue}G_{1} & \color{red}B_{2} &\color{blue} G_{2} & \color{red}B_{3} & \color{blue}G_{3} & \color{red}B_{4} & \color{blue}G_{4} & \color{red}B_{5} \\ \hline \end{array}$


$\therefore\quad$ Number of arrangements $ = {}^{5}{{P}_{5}}\times {}^{4}{{P}_{4}} =5! \times 4! = 2880$

(c)          ယောကျာ်းလေး နှင့် မိန်းကလေး အုပ်စုခွဲ၍ ထိုင်စေသော် ထိုင်နိုင်သည့် အစီစဉ်ပေါင်း မည်မျှရှိသနည်း။

$\begin{array}{|l|l|l|l|l||l|l|l|l|} \hline\color{red} B_{1} & \color{red}B_{2} & \color{red}B_{3} & \color{red}B_{4} & \color{red}B_{5} & \color{blue}G_{1} & \color{blue}G_{2} & \color{blue}G_{3} & \color{blue}G_{4} \\ \hline \end{array}$


(OR)


$\begin{array}{|l|l|l||l|l|l|l|l|} \hline \color{blue}G_{1} & \color{blue}G_{2} & \color{blue}G_{3} & \color{blue}G_{4} & \color{red} B_{1} & \color{red}B_{2} & \color{red}B_{3} & \color{red}B_{4} & \color{red}B_{5} \\ \hline \end{array}$


$\therefore\quad$ Number of arrangements $ = {}^{5}{{P}_{5}}\times {}^{4}{{P}_{4}} + {}^{4}{{P}_{4}}\times {}^{5}{{P}_{5}} =2\times 5! \times 4! = 5760$

(d)          မိန်းကလေး အားလုံးတစ်စုတည်း မထိုင်စေသည့် အစီစဉ်ပေါင်း မည်မျှရှိသနည်း။

ဤကဲ့သို့သော အစီအစဉ်တွင် ရှုပ်ထွေးမှု အနည်းငယ် ရှိပါသည်။ မိန်းကလေးအားလုံး တစ်စုတည်းမထိုင်စေသည့် အစီစဉ်ပေါင်း ဟု မေးထားပါသည်။ တစ်နည်းဆိုသော် မိန်းကလေး (၄)ယောက်လုံးတစ်စုတည်း မဖြစ်စေသည့် အစီအစဉ် အရေတွက်ပေါင်းကို ရှာရမည်ဖြစ်သည်။ ၃ ယောက် တစ်အုပ်စု၊ (သို့) ၂ ယောက် တစ်အုပ်စု၊ (သို့)တစ်ယောက်ချင်းစီ ထိုင်ခွင့်ရှိသည်။ ဖြစ်နိုင်သော အစီအစဉ်ပေါင်းကို စဉ်းစာရန် များပြားရှုပ်ထွေးလှပါသည်။

ထို့ကြောင့် အခြားတစ်ဘက်မှ ပြန်စဉ်းစားမည်။ မိန်းကလေးအားလုံး တစ်စုတည်း မထိုင်စေရ ဆိုသည်မှာ မိန်းကလေးအားလုံး တစ်စုတည်း ထိုင်စေခြင်း မဟုတ်ဟု ဆိုလိုပါသည်။ ထို့ကြောင့် ထိုင်နိုင်သောအစီအစဉ် စုစုပေါင်းမှ မိန်းကလေးအားလုံး တစ်စုထဲထိုင်စေသည့် အစီအစဉ်ပေါင်းကို ဖယ်ထုတ် (နုတ်) လိုက်လျှင် အဖြေကို အလွယ်တကူရှာနိုင်ပါသည်။

ဦးစွာ မိန်းကလေးအားလုံး တစ်စုတည်းထိုင်စေသည့် အစီအစဉ်ပေါင်း ကိုရှာပါမည်။

$\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline\color{blue}G_{1} & \color{blue}G_{2} & \color{blue}G_{3} & \color{blue}G_{4} \\ \hline \end{array}$


Number of arrangements for 4 girls sit together $ = {}^{4}{{P}_{4}} = 4! = 362880$

ဆက်လက်၍ မိန်းကလေး (၄) ယောက်တွဲနှင့် ယောက်ျား‌လေး ၅ ယောက်ကို နေရာချနိုင်သော အစီအစဉ်ကို စဉ်းစားပါမည်။ မိန်းကလေး (၄) ယောက်တွဲ တစ်စုသည် အစီအစဉ်အဖွဲ့ဝင်တစ်ခု အဖြစ်သတ်မှတ်ပြီး ယောကျာ်းလေး ၅ ယောက် အစီအစဉ် အဖွဲ့ဝင်ငါးခု၊ ထို့ကြောင့် အစီအစဉ်အဖွဲ့ဝင် ခြောက်ခု အဖြစ်သတ်မှတ်ပါသည်။

$\begin{array}{|l||l|l|l|l|} \hline \color{blue}G_{1} , \color{blue}G_{2} , \color{blue}G_{3} , \color{blue}G_{4} & \color{red}B_{1} & \color{red}B_{2} & \color{red}B_{3} & \color{red}B_{4} & \color{red}B_{5} \\ \hline \end{array}$


Number of arrangements for all boys and a group of 4 girls

$ = {}^{4}{{P}_{4}} \times {}^{6}{{P}_{6}}= 4!\times 6! $

$\therefore \quad$ Number of arrangements for all students where not all girls sit together

$ = 9!-(4!\times 6!) = 345600$


(e)          သီဟ နှင့် စန္ဒာ နှစ်ယောက်တွဲ ပါဝင်သော အစီအစဉ်ပေါင်း မည်မျှရှိသနည်း။

ဦးစွာ သီဟနှင့် စန္ဒာကို နေရာချထားနိုင်သည့် အစီအစဥ်ကို စဉ်းစားမည်။

$\begin{array}{|l|l|} \hline \color{red}{TH},\color{blue}{SD} & \color{blue}{SD}, \color{red}{TH} \\ \hline \end{array}$


Number of ways to arrange Thiha and Sandar = 2!

အထက်တွင် ဖေါ်ပြခဲ့သည့်နည်းတူ သီဟ နှင့် စန္ဒာကို အစီအစဉ် အဖွဲ့ဝင်တစ်ခုတည်း အဖြစ်သာ စဉ်းစားပေးရမည်။

ကျန်သော (၇) ယောက်အတွက် ကန့်သတ်ချက်မရှိပါ။

$\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|} \hline \color{red}{TH},\color{blue}{SD}\ \text{or}\ \color{blue}{SD}, \color{red}{TH} & S_1 & S_2 & S_3 & S_4 & S_4 & S_6 & S_7\\ \hline \end{array}$


TH, SD and S stands for Thiha, Sandar and student.


$\therefore\quad$ Number of arrangements whereas Thiha and Sandar wish to stay together

     $=2!\times 8!= 80640$ ways



Example (2)

Consider the 5 letter arrangements of the word EDUCATORS. How many arrangements

(a) contain only consonants?

(b) start with E and end in S?

(c) contain the letter U?

(d) have the T and O together?


(a)          ဗျည် (၅) လုံးရှိပြီး အခြားကန့်သတ်ချက်မရှိပါ။ There are five conconsonants.

$\therefore\quad$ Number of arrangement $= 5 ! = 120$ ways.

(b)         
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline E & & & & S\\ \hline \end{array}$


E နှင့် စပြီး S နှင့် ဆုံးသည့်အတွက် အစ စကားလုံး E သည် နေရာပြောင်းရန် မလိုအပ်သလို အဆုံး စကားလုံး S သည်လည်း နေရာပြောင်းရန် မလိုအပ်ပါ။ ထို့ကြောင့် အစီစဉ်အရေအတွက် ကို စဉ်းစားရာတွင် E နှင့် S ကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားရန် မလိုတော့ပါ။ ထို့ကြောင့် E နှင့် S ကြား နေရာ သုံးခုအတွက် ကျန်သောစကားလုံး (၇) လုံးမှ သုံးခုအစီအစဉ်ကို စဉ်စားရမည်။

$\therefore\quad$ Number of arrangement $= {}^{7}{{P}_{3}}=210$ ways.

(c)         
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline U & & & & \\ \hline \end{array}$


U ပါဝင်သော စကားလုံး (၅)လုံးကို မေးသည်။ ထို့ကြောင့် U တစ်နေရာအတွက် စဉ်းစားရန်မလိုတော့ပဲ ကျန်လေးနေရာအတွက် ကျန်သောစကားလုံး (၇) လုံးမှ လေးခုအစီအစဉ်ကို စဉ်စားရမည်။ စကားလုံး ၇ လုံးမှာ နေရာလေးခုအတွက် အစီအစဉ်မှာ $ {}^{7}{{P}_{4}}$ ဖြစ်သည်။ U ၏ နေရာကို ကန့်သတ်မထားသောကြောင့် U အတွက် ထားနိုင်သောနေရာ (၅) ခု ရှိမည်။

$\therefore\quad$ Number of arrangement $= 5\times {}^{7}{{P}_{4}}=4200$ ways.

(d)         
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline TO & & & & \\ \hline \end{array}$


TO နှင့် OT အတွဲလိုက်ပါ ပါဝင်သော စကားလုံး (၅)လုံးကို မေးသည်။ ထို့ကြောင့် TO (သို့) OT တစ်နေရာအတွက် စဉ်းစားရန်မလိုတော့ပဲ ကျန်လေးနေရာအတွက် ကျန်သောစကားလုံး (၇) လုံးမှ လေးခုအစီအစဉ်ကို စဉ်စားရမည်။ စကားလုံး ၇ လုံးမှာ နေရာလေးခုအတွက် အစီအစဉ်မှာ $ {}^{7}{{P}_{4}}$ ဖြစ်သည်။ TO နှင့် OT အစီအစဉ်အတွက် စီစဉ်နိုင်သော နည်းလမ်း နှစ်ခုရှိမည်။ TO (သို့) OT ၏ နေရာကို ကန့်သတ်မထားသောကြောင့် ထားနိုင်သောနေရာ (၅) ခု ရှိမည်။

$\therefore\quad$ Number of arrangement $ =2\times 5\times {}^{7}{{P}_{4}}=8400$ ways.



Example (3)

Nyi Nyi has 4 identical blue cards and 3 identical red cards. He draws 6 cards at a time. How many arrangements are possible?



အပြာရောင် (၄) ကတ် အနီရောင် (၃) ကတ် စုစုပေါင်း (၇)ကတ်မှ (၆) ကတ်ကို ရွေးထုတ်ရမည် ဖြစ်နိုင်ခြေနှစ်မျိုး ရှိသည်။ (နီ-၃,ပြာ-၃) သို့မဟုတ် (နီ-၂, ပြာ-၄) ဖြစ်သည်။

$\therefore\quad$ Number of arrangement

$\begin{array}{l}=\displaystyle\frac{{6!}}{{3!\ \times 3!}}+\displaystyle\frac{{6!}}{{2!\ \times 4!}}\\\\=15+20\\\\=35 \ \text{ways}\end{array}$ .


EXERCISES

1.          In how many ways can six students and two teachers be arranged in a row if:

(a) the two teachers are together

(b) the two teachers are not together

2.          How many different arrangements of the letters of the word RHOMBUS are possible if:

(a) the two vowels are together

(b) the first and last places are consonants

3.          How many numbers greater than 4000 can be formed using the digits 3, 5, 7, 8, 9 if repetition is not allowed?        

4.          If $ ^{{2n}}{{P}_{n}}=8\times {{\ }^{{2n-1}}}{{P}_{{n-1}}}$, find the value of $n$.

5.          Three blue, three white and three red balls are placed in a row.

(a) How many different arrangements are possible?

(b) In how many of these arrangements are the red balls together?