Synthetic Division

Polynomial ကိန္းတန္းတစ္ခုကို polynomial of first degree နဲ႔ စားတဲ့အခါ ရလာတဲ့ remainder အေၾကာင္းကို remainder theorem မွာ ေျပာျပခဲ့ၿပီးပါၿပီ။ Remainder Theorem အရ သိႏိုင္တာက အၾကြင္း (remainder) ပါပဲ။ စားလဒ္ (quotient) ကို သိခ်င္တယ္ဆိုရင္ ဘယ္လို လုပ္ရမလဲ။ ဥပမာ ေလးၾကည့္ရေအာင္။

p(x) = x3–7x–6 ကို x-4 နဲ႔ စားမယ္ဆိုရင္ remainder= p(4) ေပါ့။

p(4)= 43–7(4)–6 = 30 လို႔သိႏိုင္ပါတယ္။

ဒီေနရာမွာ p(x)=x3–7x–6 ကို dividend (တည္ကိန္း) လို႔ ေခၚပါတယ္။ x – 4 ကို စားကိန္း (divisor) လို႔ ေခၚပါတယ္။ p(4)=30 ကိုေတာ့ အၾကြင္း (remainder) လို႔ ေခၚပါတယ္။ remainder theorem အရ အလြယ္တကူ တြက္ထုတ္ႏိုင္တာက remainder value ပါပဲ။ စားလဒ္ (quotient) ကို လိုခ်ငိတယ္ဆိုရင္ေတာ့ ခ်စားရေတာ့မွာေပါ့။ ဒီလိုပါ။

အခုဆိုရင္ စားလဒ္က q(x)=x2+4x+9 ဆိုတာကို ရရွိမွာ ျဖစ္ပါတယ္။ တကၠသိုလ္၀င္တန္း ျပဌာန္းခ်က္ပါ သင္ရိုးအရ စားလဒ္ကို လိုခ်င္ရင္ ဒီလိုပဲ actual division နဲ႔ပဲ စားရမွာ ျဖစ္ပါတယ္။ ဒါေပမယ့္ multiple choice လို ေမးခြန္းမ်ိဳးအတြက္ စားလဒ္အေျဖကိုပဲ လိုတဲ့အခါ ဒီနည္းဟာ ရွည္လ်ားၿပီး အခ်ိန္ကုန္တာေပါ့။ ဒါဆိုရင္ ဘယ္လို လုပ္မလဲ။ စားလဒ္ေကာ အၾကြင္းကိုပါ အလြယ္တကူ ရွာႏိုင္တဲ့ synthetic division ကို သံုးၿပီး တြက္ထုတ္ ႏိုင္ပါတယ္။

အထက္က စားျပခဲ့တဲ့ polynomial ကိုပဲ ဥပမာအျဖစ္ တြက္ၾကည့္ရေအာင္။ x3–7x–6 ကို x - 4 နဲ႔ စားပါမယ္။

အဆင့္(၁)။ တည္ကိန္းရဲ့ terms ေတြမွာ ပါ၀င္တဲ့ ေျမွာက္ေဖၚကိန္းမ်ား (coefficients) ကို degree အလိုက္ အစဥ္လိုက္ ခ်ေရးပါမယ္။ လက္ရွိကိန္းတန္းမွာ ဆိုရင္ x2 ပါတဲ့ကိန္းလံုး (term in x2) မပါ၀င္တဲ့အတြက္ coefficient=0 လို႔ သတ္မွတ္ရမွာ ျဖစ္ပါတယ္။ စားကိန္း (in the form of x - k) မွာ ပါ၀င္တဲ့ constant term k (ဒီဥပမာမွာ ဆိုရင္ေတာ့ k=4 ေပါ့) ကို လည္း ေအာက္မွာ ျပထားသလို ေရးခ်လိုက္ပါ။

image

အဆင့္(၂)။ ပထမဦးဆံုးေတြ႕တဲ့ coefficient 1 ကို ျပထားသည့္အတိုင္း ဆြဲခ်လိုက္ပါ။ ၎ေနာက္ k တန္ဖိုးျဖစ္ေသာ 4 ႏွင့္ေျမွာက္ၿပီး ဒုတိယ column က 0 ေအာက္တြင္ ရလဒ္ကိုေရးပါ။

image

အဆင့္(၃)။ ဒုတိယ column မွ တန္ဖိုးမ်ားကို ေပါင္းပါ။ ရလဒ္ကို 4 ႏွင့္ေျမွာက္ၿပီး တတိယ column တြင္ ေရးပါ။ ထိုနည္း အတိုင္း column မ်ားကို ျဖည့္စြက္သြားပါ။

image

ေရွ႕ဆံုးဂဏန္းသံုးလံုး (1 4 9) သည္ စားလဒ္၏ coefficient မ်ား ျဖစ္ၿပီး 30 မွာ remainder ျဖစ္ပါတယ္္။ မူလ polynomial ၏ degree မွာ 3 ျဖစ္ေသာေၾကာင့္ စားလဒ္မွာ degree တဆင့္ေလွ်ာ့က်သြားပါမယ္။ ဒါေၾကာင့္ စားလဒ္က x2+4x+9 လို႔ အလြယ္တကူ သိႏိုင္ပါတယ္။ အခုေျပာခဲ့တဲ့ နည္းကို synthetic division လို႔ ေခၚပါတယ္။ long polynomial division နဲ႔ ခ်စားရန္ မလိုပဲ quotient ေကာ remainder ပါ အလြယ္တကူ သိႏိုင္တဲ့ နည္းတစ္ခုပါပဲ။

ေနာက္ထပ္ဥပမာ တစ္ပုစ္တြက္ၾကည့္ရေအာင္။

Example 1. Use synthetic division to divide 2x5 + 3x4 + 25x² − 1 by x + 3.

Dividend = p(x)= 2x5 + 3x4 + 25x² − 1 .

Divisor = x − k = x + 3 = x – (-3)

Therefore k = -3


image

Therefore the quotient is 2x4 − 3x3 + 9x² − 2x + 6 and the remainder is -19.

ဒီေလာက္ဆိုရင္ synthetic division ကို သေဘာေပါက္ေလာက္ပါၿပီ။