Area under a Curve (Introduction to Definite Integral)


ပံုသဏၭာန္ မွန္ေသာ geometry ႐ုပ္ပံု တစ္ခုရဲ့  ဧရိယာကို အလယ္တန္း အဆင့္မွာကတည္း ရွာတတ္ခဲ့ မွာပါ။ ဥပမာ ...

Shape Diagram Area Formula
Circle
circle
$ \displaystyle A=\pi r^2$
Triangle
triangle
$ \displaystyle A=\frac{1}{2}bh$
Rectangle
rectangle
$ \displaystyle A=lw$
Polygon
polygon
$ \displaystyle A=A_1+A_2+A_3+A_4$


သို႕ေသာ္ ပံုသဏာၭာန္ မတိက်ေသာ မ်ဥ္းေကြးတစ္ခု ၏ ေအာက္ရွိ အစိပ္အပိုင္း တစ္ခု၏ ဧရိယာကိုေတာ့ အထက္ပါ အတိုင္းပံုေသနည္း ထုတ္၍ ရွာရန္ မလြယ္ကူေတာ့ပါ။ ေအာက္ပါပံုကို ၾကည့္ပါ။


integral01
အထက္ပါ ပံုကို ၾကည့္လွ်င္ $ \displaystyle x=0$ မွ $ \displaystyle x=1$ အတြင္း $ \displaystyle y=x^2$ ဆိုေသာ မ်ဥ္းေကြးေအာက္ရွိ ဧရိယာ ( $ \displaystyle S$) ကို တိက်စြာရွာရန္အတြက္ သတ္မွတ္ထားေသာ ပံုေသနည္းကို အလြယ္တကူ မရႏိုင္ေတာ့ေပ။ ထိုဧရိယာကို ရွာရန္ နည္လမ္းကို ေအာက္ပါ အတိုင္း စဥ္းစားၾကည့္မည္။

integral02
ပံု တြင္ျမင္ေတြ႔ရသည့္ အတိုင္း လိုခ်င္ေသာ ဧရိယာကို  $ \displaystyle S_1, S_2, S_3, S_4$ ဟူ၍ အပိုင္းေလးပိုင္း ပိုင္း၍ရွာၿပီးမွ ျပန္ေပါင္းလွ်င္ ရႏိုင္ပါမည္။ သို႔ေသာ္လည္း ထိုတစ္ပိုင္းစီကို မည္ကဲ့သို႔ ရွာမည္နည္း။ တိက်ေသာ ပံုေသနည္း မရွိေသး။ ထို႔ေၾကာင့္ ပံုေသနည္း ရရန္ေအာက္ပါ အတိုင္း ျပဳျပင္ၿပီး စဥ္းစားၾကည့္မည္။

integral03 အပိုင္း တစ္ပိုင္းစီ၏ လက္ယာဘက္အစြန္းမွ ေထာင့္မွန္စတုဂံမ်ား တည္ေဆာက္ၿပီး ၎  ေထာင့္မွန္စတုဂံ တစ္ခုစီ၏ ဧရိယာမ်ားကို ရွာ၍ ျပန္ေပါင္းလွ်င္ လိုခ်င္ေသာ ဧရိယာကို အနီးစပ္ဆံုး ရႏိုင္မည္ျဖစ္သည္။


ေထာင့္မွန္စတုဂံ၏ ဧရိယာ အေျခ × အျမင့္
ပထမေထာင့္မွန္စတုဂံ၏ ဧရိယာ $ \displaystyle S_1=\frac{1}{4}\times f\left( {\frac{1}{4}} \right)=\frac{1}{4}\times \frac{1}{{16}}=\frac{1}{{64}}$
ဒုတိယေထာင့္မွန္စတုဂံ၏ ဧရိယာ $ \displaystyle S_2=\frac{1}{4}\times f\left( {\frac{1}{2}} \right)=\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{{16}}=\frac{4}{{64}}$
တတိယေထာင့္မွန္စတုဂံ၏ ဧရိယာ $ \displaystyle S_3=\frac{1}{4}\times f\left( {\frac{3}{4}} \right)=\frac{1}{4}\times \frac{9}{{16}}=\frac{9}{{64}}$
စတုတၳေထာင့္မွန္စတုဂံ၏ ဧရိယာ $ \displaystyle S_4=\frac{1}{4}\times f\left( 1 \right)=\frac{1}{4}\times 1=\frac{1}{4}=\frac{{16}}{{64}}$

ထို႕ေၾကာင့္ ေထာင့္မွန္စတုဂံ အားလံုး၏ ဧရိယာ = $ \displaystyle \frac{{30}}{{64}}=0.46875$ ျဖစ္မည္။ သို႔ရာတြင္ လိုခ်င္ေသာ ဧရိယာသည္ ေထာင့္မွန္စတုဂံ အားလံုး၏ ဧရိယာ ေအာက္ငယ္ေနသည္ ကို ပံုတြင္အထင္အရွား ေတြ႔ႏိုင္ေပသည္။ ထို႕ေၾကာင့္ ေနာက္ထပ္ တစ္နည္း စဥ္းစားၾကည့္မည္။

integral04 ယခုတစ္ခါ အပိုင္း တစ္ပိုင္းစီ၏ လက္၀ဲဘက္အစြန္းမွ ေထာင့္မွန္စတုဂံမ်ား တည္ေဆာက္ၿပီး ၎  ေထာင့္မွန္စတုဂံ တစ္ခုစီ၏ ဧရိယာမ်ားကို ရွာ၍ ျပန္ေပါင္း ၾကည့္မည္။


ေထာင့္မွန္စတုဂံ၏ ဧရိယာ အေျခ × အျမင့္
ပထမေထာင့္မွန္စတုဂံ၏ ဧရိယာ $ \displaystyle \frac{1}{4}\times f\left( 0 \right)=\frac{1}{4}\times 0=0$
ဒုတိယေထာင့္မွန္စတုဂံ၏ ဧရိယာ $ \displaystyle \frac{1}{4}\times f\left( {\frac{1}{4}} \right)=\frac{1}{4}\times \frac{1}{{16}}=\frac{1}{{64}}$
တတိယေထာင့္မွန္စတုဂံ၏ ဧရိယာ $ \displaystyle \frac{1}{4}\times f\left( {\frac{1}{2}} \right)=\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{{16}}=\frac{4}{{64}}$
စတုတၳေထာင့္မွန္စတုဂံ၏ ဧရိယာ $ \displaystyle \frac{1}{4}\times f\left( {\frac{3}{4}} \right)=\frac{1}{4}\times \frac{9}{{16}}=\frac{9}{{64}}$

ထို႕ေၾကာင့္ ေထာင့္မွန္စတုဂံ အားလံုး၏ ဧရိယာ = $ \displaystyle \frac{{14}}{{64}}=0.21875$ ျဖစ္မည္။ သို႔ရာတြင္ လိုခ်င္ေသာ ဧရိယာသည္ ေထာင့္မွန္စတုဂံ အားလံုး၏ ဧရိယာ ထက္ႀကီးေနသည္ ကို ပံုတြင္အထင္အရွား ေတြ႔ႏိုင္ ျပန္ပါသည္။

ထို႔ေၾကာင့္ လိုခ်င္ေသာ ဧရိယာ $ \displaystyle S$ သည္...

$ \displaystyle 0.21875 < S < 0.46875$ ျဖစ္ေပမည္။ တိက်ေသာ အေျဖကို မရေသးပါ။

ပိုမိုတိက်ေသာ အေျဖရႏိုင္ရန္ အထက္ပါနည္းအတိုင္း ေထာင့္မွန္စတုဂံ အေရအတြက္ကို တိုး၍ စိပ္ပိုင္းလိုက္ သည့္အခါ ...

integral06
$ \displaystyle 0.2734375 < S < 0.3984375$ ျဖစ္လာျပန္ပါသည္။ ပံုကိုၾကည့္ျခင္းအား ျဖင့္ $ \displaystyle S$ ၏ တန္ဖိုးသည္ အေျဖမွန္ႏွင့္ ပိုမို နီးစပ္လာသည္ကို ေတြ႔ရေပမည္။ ဤ ဥပမာမ်ားကို ၾကည့္လွ်င္ စိပ္ပိုင္းလိုက္သည့္ ေထာင့္မွန္စတုဂံ အေရအတြက္ ပို၍မ်ားလာေလေလ အေျဖမွန္ႏွင့္ ပို၍ နီးစပ္လာသည္ကို ေတြ႔ရေပမည္။

integral05

$ \displaystyle n$ $ \displaystyle L_n$ $ \displaystyle R_n$
10 0.2850000 0.3850000
20 0.3087500 0.3587500
30 0.3168519 0.3501852
50 0.3234000 0.3434000
100 0.3283500 0.3383500
1000 0.3328335 0.3338335

အထက္ပါ ေထာင့္မွန္စတုဂံမ်ား၏ ဧရိယာမ်ားေပါင္းလဒ္ကို Riemann sum ဟုေခၚသည္။

ေအာက္ပါ geogebra applet ျဖင့္ေလ့လာၾကည့္ပါ။


applet တြင္ ေတြ႔ရွိခ်က္အရ left sum, right sum တို႔ထက္ midpoint sum သည္ အေျဖမွန္နွင့္ ပိုမို နီးစပ္သည္ကို ေတြ႕ရွိရေပမည္။ သို႔ရာတြင္ စိပ္ပိုင္းသည့္ အေရအတြက္ အနႏၱ (∞) သို႔ ခ်ဥ္းကပ္သြား သည့္အခါ left sum ႏွင့္ right sum တို႔သည့္ကြားျခားမႈ မရွိေတာ့ေပ။
 
$ \displaystyle x = a$ ႏွင့္  $ \displaystyle x=b$ ၾကာား ေပးထားေသာ curve ၏ ေအာက္ရွိ လိုခ်င္ေသာ ဧရိယာကို ေထာင့္မွန္စတုဂံေပါင္း $ \displaystyle n$ ခု စိပ္ပိုင္းလိုက္ၿပီး တစ္ခုစီ၏ အေျခအလ်ားသည္ $ \displaystyle \Delta x$ ရွိသည္ဆိုပါစို႔။

ထိုအခါ $ \displaystyle \Delta x=\frac{{b-a}}{n}$ ျဖစ္မည္။

ေထာင့္မွန္စတုဂံ တစ္ခုစီ၏ ဧရိယာကို ေအာက္ပါအတိုင္း ရွာယူႏိုင္ပါသည္။


ပထမ ေထာင့္မွန္စတုဂံ၏ ဧရိယာ $ \displaystyle f({{x}_{1}})\Delta x$
ဒုတိယ ေထာင့္မွန္စတုဂံ၏ ဧရိယာ $ \displaystyle f({{x}_{2}})\Delta x$
တတိယ ေထာင့္မွန္စတုဂံ၏ ဧရိယာ $ \displaystyle f({{x}_{3}})\Delta x$
.
.
.
.
.
.
i အႀကိမ္ေျမာက္ ေထာင့္မွန္စတုဂံ၏ ဧရိယာ $ \displaystyle f({{x}_{i}})\Delta x$

ထို႕ေၾကာင့္ ေထာင့္မွန္စတုဂံေပါင္း $ \displaystyle n$ ခု စိပ္ပိုင္းထားလွ်င္ စုစုေပါင္း ဧရိယာသည္...


$ \displaystyle {{S}_{n}}=f({{x}_{1}})\Delta x+f({{x}_{2}})\Delta x+f({{x}_{3}})\Delta x+...+f({{x}_{n}})\Delta x$

အထက္တြင္ သိၿပီးျဖစ္သည့္အတိုင္း ေထာင့္မွန္စတုဂံ အေရအတြက္ မ်ားလာေလေလ ဧရိယာ၏ တန္ဖိုးသည္ပို၍ တိက်ေလေလ ျဖစ္ရာ သတ္မွတ္ထားေသာ interval $ \displaystyle a$ ႏွင့္ $ \displaystyle b$ ၾကားတြင္ ေထာင့္မွန္စတုဂံ အေရအတြက္ $ \displaystyle n$ သည္ $ \displaystyle ∞$ သို႔ခ်ဥ္းကပ္သြားသည့္ အခါ လိုခ်င္ေသာ ဧရိယာကို အတိအက် (exact value) ရွာယူႏိုင္ပါသည္။

ထို႔ေၾကာင့္ လိုခ်င္ေသာ ဧရိယာ $ \displaystyle S$ ကို ေအာက္ပါအတိုင္း တြက္ယူႏိုင္ပါသည္။ 


$ \displaystyle S=\underset{{n\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\sum\limits_{{i=1}}^{n}{{f({{x}_{i}})\Delta x}}$

$ \displaystyle \ \ \ =\underset{{n\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\left[ {f({{x}_{1}})\Delta x+f({{x}_{2}})\Delta x+f({{x}_{3}})\Delta x+...+f({{x}_{n}})\Delta x} \right]$

အထက္ပါ ဧရိယာသည္ ေပးထားေသာ curve ေအာက္ရွိ သတ္မွတ္ထားေသာ interval $ \displaystyle a$ ႏွင့္ $ \displaystyle b$ ၾကားတြင္ရွိေသာေၾကာင့္ ဧရိယာရွာရန္ ပံုေသနည္း notation ကို ေအာက္ပါအတိုင္း ေျပာင္းေရးပါသည္။


$ \displaystyle S=\underset{{n\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\sum\limits_{{i=1}}^{n}{{f({{x}_{i}})\Delta x}}=\int_{a}^{b}{{f(x)dx}}$

The Definite Integral as the Area of a Region

area_under_curve
If $ \displaystyle f$ is continuous and nonnegative on the closed interval $ \displaystyle [a, b]$, then the area of the region bounded by the graph of $ \displaystyle f$, the $ \displaystyle x$-axis, and the vertical lines $ \displaystyle x = a$ and $ \displaystyle x = b$ is $ \displaystyle A$, then

$ \displaystyle A=\int_{a}^{b}{{f(x)dx}}$