Permutation (Part 4)

Ph မျက်နှာပြင်တွင် စာများအပြည့် မပေါ်လျှင် slider ကို ဆွဲ၍ လည်းကောင်း၊ ph ကို အလျားလိုက်ပုံစံ (landscape position) ပြောင်း၍ လည်းကောင်း ဖတ်ရှုနိုင်ပါသည်။

$A, B$ နှင့် $C$ လူသုံးယောက်ရှိသည် ဆိုပါစို့။ $A, B$ နှင့် $C$ ကို မျဉ်းဖြောင့် နေရာချထားနိုင်သည့် အစီအစဉ်မှာ $3! = 6$ ways ဖြစ်ကြောင်း ယခင် post (part 1, part 2, part 3) တို့တွင် တင်ပြခဲ့ပြီးဖြစ်သည်။ 

$A, B$ နှင့် $C$ ကို မျဉ်းဖြောင့် နေရာချထားနိုင်သည့် အစီအစဉ် (၆) ခုမှာ ABC, BCA, CAB, ACB, BAC, CBA တို့ ဖြစ်သည်။ 

သို့ရာတွင် အဆိုပါလူသုံးဦးကို စားပွဲဝိုင်းတွင် နေရာချထားသည့်အခါ ABC, BCA, CAB အစီအစဉ်သုံးခုမှာ အတူတူပင်ဖြစ်ကြောင်း တွေ့ရမည်။ 

အလားတူပင် ACB, BAC, CBA အစီအစဉ်သုံးခုမှာလည်း အတူတူပင်ဖြစ်ကြောင်း တွေ့ရမည်။

မျဉ်းဖြောင့်နေရာချထားမှုတွင် A သည် မည့်သည့်နေရာတွင် ရှိသည့်ဆိုသည့် အခြေအနေက နေရာချထားမှု အစီအစဉ်တွင် ထည့်သွင်းစဉ်းစားရပြီး စက်ဝိုင်းပုံနေရာချထားမှုတွင် ပထမဦးဆုံးနေရာသည် မည်သည့်နေရာတွင်ဖြစ်စေ အရေးပါမှုမရှိတော့ပဲ ၎င်းနောက်မှ အဖွဲ့ဝင်များ၏ အစီအစဉ် အရေအတွက်ကိုသာ ထည့်သွင်း စဉ်းစားရမည် ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် လူသုံးဦး၏ စက်ဝိုင်းပုံ နေရာချထားမှု (circular permutation) တွင် ...

ထို့ကြောင့် သုံးယောက်တွင် ပထမဦးဆုံးလူ၏ နေရာချထားမှုအစီအစဉ်ကို ထည့်သွင်းတွက်ချက်ရန် မလိုသောကြောင့် $(3 - 1)! = 2! = 2$ ways သာ ဖြစ်မည်။

ထို့ကြောင့် စက်ဝိုင်းပုံ လမ်းကြောင်းပေါ်တွင် မတူညီသော အရာဝတ္ထု $n$ ကို စီစဉ်နိုင်သော နည်းလမ်းအရေအတွက်မှာ $(n - 1)!$ ဖြစ်သည်။

ဤတွင် လက်ယာရစ် (anticlockwise direction) နှင့် လက်ဝဲရစ် (anticlockwise direction) တို့ကို မတူညီသော အစီအစဉ်များ အဖြစ်သတ်မှတ်ပါသည်။ အကယ်၍ လက်ယာရစ် နှင့် လက်ဝဲရစ် တို့သည် တူညီသော အခြေအနေ (ဥပမာ - ပုတီး) တွင် အရာဝတ္ထု $n$ ကို စီစဉ်နိုင်သော နည်းလမ်း အရေအတွက်မှာ $\displaystyle\frac{(n - 1)!}{2}$ ဖြစ်သည်။

CIRCULAR PERMUTATION

If $n$ different things can be arranged in a row, the linear arrangements is $n!$, whereas every linear arrangements have a beginning and end but in circular permutations, there is neither beginning nor end.

When clockwise and anti-clockwise orders are taken as different, the number of circular permutations of $n$ different things taken all at a time is

$\begin{array}{|c|}\hline(n – 1)!\\ \hline\end{array}$

But, when the clockwise and anti-clockwise orders are not different, i.e. the arrangements of beads in a necklace, arrangements of flowers in a garland, etc. 

The number of circular permutations of $n$ different things is

$\begin{array}{|c|}\hline\displaystyle\frac{(n - 1)!}{2}\\ \hline\end{array}$


RESTRICTED CIRCULAR PERMUTATIONS

If clockwise and anti-clockwise arrangements are taken as different, the number of circular permutations of $n$ different things, taken $r$ at a time is given by

$\begin{array}{|c|}\hline\displaystyle\frac{{}^nP_{r}}{r}\\ \hline\end{array}$

If clockwise and anti-clockwise arrangements are taken as different, the number of circular permutations of $n$ different things, taken $r$ at a time is given by

$\begin{array}{|c|}\hline\displaystyle\frac{{}^nP_{r}}{2r}\\ \hline\end{array}$

အောက်ပါ video နှင့် ယှဉ်တွဲလေ့လာကြည့်ပါ။


Example (1)

At a dinner party 3 men and 3 women sit at a round table. In how many ways can they sit if:                          

(a) there are no restrictions?

(b) men and women in alternate arrangement?

(c) U Kyaw and U Myo must sit together?


(a) Number of ways = (6 – 1)! = 5!

(b) Number of ways = (3 – 1)! 3!= 2! 3!

(c) Arrangement : (U Kyaw and U Myo) and other 4 members

    Number of ways = 2! 4!


EXERCISES

1.          In how many ways, can we arrange 6 different flowers in a circle?

2.          It is decided to label the vertices of a rectangle with the letters A, B, C and D. In how many ways is this possible if:

(a) they are to be in clockwise alphabetical order?

(b) they are to be in alphabetical order?

(c) they are to be in random order?

3.          In how many ways, 6 Myanmars and 5 Koreans can be seated in a round table if

(i) there is no restriction?

(ii) all the 5 Koreans sit together?

(iii) all the 5 Koreans do not sit together?

(iv) no two Koreans sit together?

4.          In how many ways, 20 persons be seated around a round table if there are 10 seats available there?