Conic Sections (Parabola) - Part 1

Introduction




ထိပ်ချင်းဆိုင်ထားသော ကတော့ချွန် (Cone) နှစ်ခုကို ပြင်ညီတစ်ခုနှင့် ပိုင်းဖြတ်လိုက်သောအခါ ရရှိလာသည့် အစိပ်အပိုင်းများကို Conic Sections ဟုခေါ်သည်။ ပိုင်းဖြတ်လိုက်သော ပြင်ညီ၏ တည်နေပုံ (ထောင့်အနေအထား) ကို လိုက်၍ Conic Sections များကို
  • Circle
  • Ellipse
  • Parabola
  • Hyperbola
  • Intersecting Lines
စသဖြင့်အမျိုးအစားများ ခွဲခြားနိုင်ပါသည်။

Parabola



  • ပေးထားသော applet ရှိ အမှတ် $P$ ကို ပွတ်ဆွဲပြီး ရွှေ့ကြည့်ပါ။

  • အမှတ် $P$ သည် အမှတ်သေ (မရွေ့လျားသော အမှတ်) $F$ နှင့် မျဉ်းသေ (မရွေ့လျားသော မျဉ်း) $L$ မှ အမြဲတူညီစွာ ကွားဝေးနေသည်ကို တွေ့ရပါမည်။

  • အမှတ်ရှင် (ရွေ့လျားနိုင်သော အမှတ်) $P$ ကို နေရာလိုက်ပြီး $P_1, P_2, P_3, \text{etc}.$ စသဖြင့် အမည်သတ်မှတ်သည် ဆိုပါစို့။ တည်နေရာမတူသော $P$ အမှတ်များ၏ အစုအဝေးကို မျဉ်းကွေး (Curve) အဖြစ် တွေ့မြင်ရမည် ဖြစ်ပြီး၊ အဆိုပါ curve ကို Parabola ဟုခေါ်သည်။

  • အမှတ်သေ (fixed point) $F$ ကို Focus ဟုခေါ်ပြီး၊ မျဉ်းသေ (fixed line) $L$ ကို Directrix ဟုခေါ်သည်။

  • ထို့ကြောင့် Parabola ဆိုသည်မှာ Focus နှင့် Directrix တို့မှ တူညီစွာဝေးကွာသည့် အမှတ်များပါဝင်သော အစုဟု အဓိပ္ပါယ်သတ်မှတ်နိုင်ပါသည်။
Definitions - Parabola

A set that consists of all the points in a plane equidistant from a given fixed point and a given fixed line in the plane is a parabola. The fixed point is the focus of the parabola. The fixed line is the directrix.


Focus သည် $\text{positive}\ x-\text{axis}$ ပေါ်ရှိ အမှတ်တစ်ခု $(0,p)$ ဖြစ်သည်ဟု ယူဆမည်။ Directrix သည် $(0,-p)$ ကို ဖြတ်သွားသော horizontal line (ရေပြင်ညီမျဉ်း) ဖြစ်သည်ဟု ယူဆမည်။

ထိုအခါ parabola သည် $(0,p)$ နှင့် $(0,-p)$ တို့၏ အလယ်မှတ်ဖြစ်သော $(0,0)$ ကို ဖြတ်သွားမည်။ ၎င်းကို parabola ၏ vertex ဟုလည်း ခေါ်သည်။ Vertex နှင့် Focus သည် တူညီသော ထောင်လိုက် သို့မဟုတ် ရေပြင်ညီ မျဉ်းတစ်ကြောင်းတည်း ပေါ်တွင်သာ ရှိသည်။ Vertex နှင့် Focus ကြားအကွာအဝေး |p| ကို parabola ၏ focal lenght ဟုခေါ်သည်။ Parabola ၏ vertex ကို ကန့်လန့်ဖြတ်ပြီး Parabola ကို ခေါက်ချိုးညီထက်ဝက်ပိုင်း သွားသော $y-\text{axis}$ ကို Axis of Symmetry (ခေါက်ချိုးညီ ဝင်ရိုး) ဟု ခေါ်သည်။

အမှတ် $P$ မှ directrix ပေါ်သို့ ထောင့်မတ်ကျသော မျဉ်းသည် directrix ကို $Q$ ၌ ဖြတ်သည်ဆိုပါစို့။ Parabola ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ $PF=PQ$ အမြဲဖြစ်ပါမည်။ ထို့ကြောင့် PF:PQ = 1 ဖြစ်လျှင် parabola ဟုခေါ်သည်။ အဆိုပါ PF နှင့် PQ အချိုးကို conic section တစ်ခု၏ eccentricity ($e$) ဟု သတ်မှတ်သည်။

Distance Formula အရ ...

$\begin{array}{l} P F=\sqrt{(x-0)^{2}+(y-p)^{2}}=\sqrt{x^{2}+(y-p)^{2}} \\\\ P Q=\sqrt{(x-x)^{2}+(y+p)^{2}}=\sqrt{(y+p)^{2}} \\\\ \therefore \sqrt{x^{2}+(y-p)^{2}}=\sqrt{(y+p)^{2}} \\\\ x^{2}+(y-p)^{2}=(y+p)^{2} \\\\ x^{2}=(y+p)^{2}-(y-p)^{2} \\\\ x^{2}=(y+p+y-p)(y+p-y+p) \\\\ x^{2}=(2 y)(2 p) \\\\ x^{2}=4 p y \text { or } y=\displaystyle\frac{x^{2}}{4 p} \end{array}$
ထို့ကြောင့် Focus က $(0,p)$ ၌ ရှိပြီး directrix : $y=-p$ ဖြစ်လျှင် parabola ၏ equation ကို $x^{2}=4 p y \text { or } y=\displaystyle\frac{x^{2}}{4 p}$ ဟု အလွယ်တကူ ပြောနိုင်သည်။ Parabola Shape မှာ Opens Up ဖြစ်မည်။

အကယ်၍ Focus က $(0,-p)$ ၌ ရှိပြီး directrix : $y=p$ ဖြစ်လျှင် parabola ၏ equation မှာ $x^{2}=-4 p y \text { or } y=-\displaystyle\frac{x^{2}}{4 p}$ ဖြစ်ပြီး Opens Down Parabola ကို ရရှိမည် ဖြစ်သည်။ အောက်ပါ applet မှာ အမှတ် $P$ ကို ပွတ်ဆွဲကြည့်ပါ။


အကယ်၍ Focus က $(p,0)$ ၌ ရှိပြီး directrix : $x=-p$ ဖြစ်လျှင် parabola ၏ equation မှာ $y^{2}=4px \text { or } x=\displaystyle\frac{y^{2}}{4 p}$ ဖြစ်ပြီး Opens Right Parabola ကို ရရှိမည် ဖြစ်သည်။အောက်ပါ applet မှာ အမှတ် $P$ ကို ပွတ်ဆွဲကြည့်ပါ။


ထိုနည်းတူစွာ Focus က $(-p,0)$ ၌ ရှိပြီး directrix : $x=p$ ဖြစ်လျှင် parabola ၏ equation မှာ $y^{2}=-4px \text { or } x=-\displaystyle\frac{y^{2}}{4 p}$ ဖြစ်ပြီး Opens Left Parabola ကို ရရှိမည် ဖြစ်သည်။ ဖော်ပြပါ parabola ပုံသဏ္ဌာန် လေးမျိုးကို အောက်ပါအတိုင်းမှတ်သားနိုင်ပါသည်။

Standard Equations

Standard-form equations for parabolas with vertices at the origin (p > 0)

      Equation             Focus             Directrix             Axis             Opens      
$x^{2}=4 p y$     $(0, p)$       $y=-p$ $y \text { -axis }$       UP
$x^{2}=-4 p y$     $(0, -p)$       $y=p$ $y \text { -axis }$       DOWN
$y^{2}=4 p x$     $(p, 0)$        $x=-p$ $x \text { -axis }$       RIGHT
$y^{2}=-4 p x$     $(-p, 0)$       $x=p$ $x \text { -axis }$       LEFT


Terms of Parabola




Important Terms to Know

  • Axis: The straight line passing through the focus and perpendicular to the directrix of the conic is known as its axis.
    Focus ကို ဖြတ်၍ directrix ပေါ် ထောင့်မတ်ကျသော မျဉ်းကို axis of symmetry သို့မဟုတ် axis ဟုခေါ်သည်။

  • Vertex: A point of intersection of a conic with its axis is known as a vertex of the conic.
    Conic နှင့် Axis ဖြတ်သွားသော အမှတ်ကို Vertex ဟုခေါ်သည်။

  • Focal Chord: A chord passing through the focus is known as focal chord of the conic.
    Conic ၏ Focus ကို ဖြတ်သွားသော လေးကြိုးကို Focal Chord ဟုခေါ်သည်။

  • Latus Rectum: The focal chord which is perpendicular to the axis is known as latus rectum of the conic.
  • Axis ပေါ် ထောင့်မတ်ကျသော Focal Chord ကို latus rectum ဟုခေါ်သည်။


Worked Examples

Example (1)

Find the equation of the parabola with focus at (0, 4) and directrix the line y=-4.

Solution

Focus = (0,4), directrix : y= -4

Since the focus is on the positive y-axis at (0, 4) and the directrix is a horizontal line y=-4, the vertex of the parabola is (0,0).

The equation of the parabola is of the form $x^2=4py$ where $p=4$.

$\therefore \ \ x^2=4(4)y\ \ \ \text{or}\ \ \ y=\displaystyle\frac{x^2}{16}$

Example (2)
Find the focus and directrix of the parabola $y^2= 10x$.

Solution

Parabola: $y^2= 10x$.

Comparing with $y^2= 4px$,

$\begin{array}{l} 4p=10\\\\ p=\displaystyle\frac{10}{4}=\displaystyle\frac{5}{2}\\\\ \therefore \ \ \ \text{focus}= (p,0)= \displaystyle \left( {\frac{5}{2},0} \right)\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{directrix}: x=-p \Rightarrow x= -\displaystyle\frac{5}{2} \end{array}$

Example (3)

Find the equation of a parabola whose vertex is at (0, 0). If the axis of symmetry of the parabola is the $x$-axis and the point $\displaystyle \left( {-\frac{1}{2},2} \right)$ lies on the graph. Find its focus and directrix, and graph the equation.

Solution

vertex = (0,0)

axis of symmetry = $x-\text{axis}$

point on the graph = $ \left( {-\displaystyle\frac{1}{2},2} \right)\Rightarrow 2^{\text{nd}}\ \text{quadrant}$

$\therefore$ The parabola opens to the left and its equation is of the form $y^2=-4px$

Since $ \left( {-\displaystyle\frac{1}{2},2} \right)$ lies on parabola,

${2}^2=-4p \left( {-\displaystyle\frac{1}{2},2} \right)$

$\therefore\ \ p=2$

$\therefore$ The equation of parabola : $y^2=-4(2)x\Rightarrow y^2=-8x$

$ \ \ \ \ \ \ \text{focus} = (-p,0) = (-2,0)$

$ \ \ \ \ \ \ \text{directrix} : x = p\Rightarrow x =2 $

$ \displaystyle \begin{array}{l}\text{When}\ x=-2,\ {{y}^{2}}=-8(-2)=16\\\\ \therefore \ \ y=\pm 4\end{array}$

Hence the parabola passes through the points $(-2,4)$, $\displaystyle \left( {-\frac{1}{2},2} \right)$, $(0,0)$ and $(-2,-4)$.


Exercises


Find the focus and directrix of each of the foloowing parabola equations and sketch the graph.

$\begin{array}{ll} (1) & y^{2}=12 x\\\\ (2) & x^{2}=6 y\\\\ (3) & x^{2}=-8 y\\\\ (4) & y^{2}=-2 x\\\\ (5) & y=4 x^{2}\\\\ (6) & y=-8 x^{2}\\\\ (7) & x=-3 y^{2}\\\\ (8) & x=2 y^{2} \end{array}$