Conic Sections (Parabola) - Part 4

Previous Posts

CONIC SECTIONS (PARABOLA) - PART 1 (Click Here)

CONIC SECTIONS (PARABOLA) - PART 2 (Click Here)

CONIC SECTIONS (PARABOLA) - PART 3 (Click Here)

General Equation of Parabola

Vertex က $(h,k)$ ၌ ရှိပြီး Axis of symmetry က

horizontal ဖြစ်လျှင် Parabola တစ်ခု၏ equation ကို $(y-k)^2=4p(x-h)$

vertical ဖြစ်လျှင် Parabola တစ်ခု၏ equation ကို $(x-h)^2=4p(y-k)$

ဟုဖော်ပြနိုင်ကြောင်း Part (3) တွင် တင်ပြခဲ့ပြီး ဖြစ်သည်။

အထက်ဖော်ပြပါ equation များ၏ အကျယ်ဖြန့်ပုံစံ (expanded form) ကို ဆက်လက်လေ့လာ ကြည့်ကြမည်။

For horizontal axis of symmetry (horizontal parabola),

$\begin{array}{l} (y-k)^{2}=4 p(x-h) \\\\ y^{2}-2 k y+k^{2}=4 p x-4 p h \\\\ y^{2}-4 p x-2 k y+k^{2}+4 p h=0 -----(1) \end{array}$

For vertical axis of symmetry (vertical parabola),

$\begin{array}{l} (x-h)^{2}=4 p(y-k) \\\\ x^{2}-2 h x+h^{2}=4 p y-4 p k \\\\ x^{2}-2 h x-4 p y +h^{2}+4pk=0 -----(2) \end{array}$

အထက်ပါပုံစံများကို လေ့လာခြင်းအားဖြင့် $y^2$ term ပါသော parabola ကို horizontal parabola ဟူ၍လည်းကောင်း၊ $x^2$ term ပါသော parabola ကို vertical parabola ဟူ၍လည်းကောင်း၊ မှတ်ယူနိုင်ပါသည်။

ကတော့ချွန် (Cone) တစ်ခုကို ဖြတ်လိုက်ခြင်းကြောင့် ဖြစ်လာသော မည်သည့် အနားစောင်းပုံစံ (Conic Section) တစ်ခုကို မဆို

$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F = 0$


ဆိုသော ယျေဘုယျ ပုံစံဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။

horizontal parabola တွင် $A=B=0$ နှင့် vertical parabola တွင် $B=C=0$ ဖြစ်သည်။ $A$ နှင့် $C$ သည် တပြိုင်နက် $0$ မဖြစ်နိုင်ပါ။

   Note
  • Axis of Symmetry သည် horizontal (သို့) vertical ဖြစ်နေသော conic section တိုင်းတွင် $B=0$ ဖြစ်မည်။
  • Axis of Symmetry သည် horizontal (သို့) vertical မဟုတ်ပါက ၎င်းကို Rotated Conics ဟုခေါ်ပြီး $B\ne0$ ဖြစ်သည်။


ထို့ကြောင့်

horizontal parabola တစ်ခု၏ general equation ကို $Cy^2+Dx+Ey+F = 0$ ဟူ၍လည်းကောင်း၊

vertical parabola တစ်ခု၏ general equation ကို ကို $Ax^2+Dx+Ey+F = 0$ ဟူ၍လည်းကောင်း၊ မှတ်ယူနိုင်ပါသည်။

$Cy^2+Dx+Ey+F = 0$ ကို equation (1) ဖြင့် နှိုင်းယှဉ်သော် $C=1$၊ $Ax^2+Dx+Ey+F = 0$ ကို equation (1) ဖြင့် နှိုင်းယှဉ်သော် $A=1$ ဖြစ်မည်။

ထို့ကြောင့် Parabola တစ်ခု၏ Standard Form နှင့် General Form ကို အောက်ပါအတိုင်း မှတ်သားနိုင်ပါသည်။

Type of Parabola Standard Form General Form
Horizontal $(y-k)^2=4p(x-h)$ $y^2+Dx+Ey+F=0$
Vertical $(x-h)^2=4p(y-k)$ $x^2+Dx+Ey+F=0$


Worked Examples

Example (1)

Determine an equation of the parabola with its axis parallel to the y axis and which passes through the three points (0, 1), (1, 0), ( - 2, - 1). Hence find the vertex, focus, directrix and sketch the graph.

Solution

Since the axis of symmtry is vertical, the equation of parabola is of the form

$(x-h)^{2}=4 p(y-k)$

$\therefore x^{2}-2 h x+h^{2}=4 p y-4 p k$

$x^{2}-2 h x-4 p y+h^{2}+4 p k=0$

Comparing with,

$ x^{2}+D x+E y+F=0 .$

$ D=-2 h, E=-4 p, F=h^{2}+4 p k$

At the point $(0,1)$, $E+F=0 \quad---(1)$

At the point $(1,0)$,

$1+D+F=0$

$\therefore D+F=-1 \quad---(2)$

At the point $(-2,-1)$

$4-2 D-E+F=0$

$\therefore 2 D+E-F=4--(3)$

Solving equations ( 1$),(2)$ and $(3)$

$\therefore D=\displaystyle\frac{1}{2}, E=\displaystyle\frac{3}{2}, F=-\displaystyle\frac{3}{2}$

$\therefore$ The required equation is

$x^{2}+\displaystyle\frac{1}{2} x+\displaystyle\frac{3}{2} y-\displaystyle\frac{3}{2}=0$

$2 x^{2}+x+3 y-3=0$

Since $D=-2 h,-2 h=\displaystyle\frac{1}{2}$.

$\therefore h=-\displaystyle\frac{1}{4}$

Similarly $E=-4 p,-4 p=\displaystyle\frac{3}{2}$.

$\therefore p=-\displaystyle\frac{3}{8}$

Similarly $F=h^{2}+4 p k$

$h^{2}+4 p k=-\displaystyle\frac{3}{2} .$

$\therefore \displaystyle\frac{1}{16}-\displaystyle\frac{3}{2} k=-\displaystyle\frac{3}{2} \Rightarrow k=\displaystyle\frac{25}{24}$

$\therefore$ Vertex $=(h, k)=\left(-\displaystyle\frac{1}{4}, \displaystyle\frac{25}{24}\right)$

Focus $=(h, k+p)=\left(-\displaystyle\frac{1}{4}, \displaystyle\frac{2}{3}\right)$

Directrix: $y=k-p \Rightarrow y=\displaystyle\frac{4}{3}$

Endpoints of latus rectum $=(h \pm 2 p, k+p)$

$\therefore$ Endpoints of latus rectum $=\left(-1, \displaystyle\frac{2}{3}\right)$ and $\left(\displaystyle\frac{1}{2}, \displaystyle\frac{2}{3}\right)$.



Example (2)

A bridge is built in the shape of a parabolic arch. The bridge has a span of 120 feet and amaximum height of 25 feet. See the illustration. Choose a suitable rectangular coordinate system and find the height of the arch at distances of 10, 30, and 50 feet from the center.



Solution

Assuming the bridge as the following graph,



Vertex $:(0,25)$

Axis of symmetry : vertical

$\therefore$ The graph is of the form

$(x-h)^{2}=4 p(y-k)$

where $(h, k)=(0,25)$

$\therefore(x-0)^{2}=4 p(y-25)$

yields $x^{2}=4 p(y-25)$

Since $(60,0)$ is apoint on parabola,

$60^{2}=4 p(0-25)$

yields $p=-36$.

$\therefore x^{2}=-144(y-25)$

$\ \ \ \ \ y=25-\displaystyle\frac{x^{2}}{144}$

$\therefore\ \ \text{when}\ x=10$,

$\ \ \ \ \ y=25-\displaystyle\frac{10^{2}}{144}=\displaystyle\frac{875}{36}=24.31$

$\ \ \ \ \ \text{when} x=30$.

$\ \ \ \ \ y=25-\displaystyle\frac{30^{2}}{144}=\displaystyle\frac{75}{4}=18.75$

$\ \ \ \ \ \text{when} x=50$.

$\ \ \ \ \ y=25-\displaystyle\frac{50^{2}}{144}=\displaystyle\frac{275}{36}=7.64$


Exercises

Find equations of the parabolas with axes parallel to the x axis and passing through the following points. Hence find the vertex, focus, directrix and sketch each graph.

$\begin{array}{ll} 1. & (4, 2), (2, -1),(4, 1)\\\\ 2. & (6, - 2 ) , (1, 3), ( - 8 , 5)\\\\ 3. & (-1,2), (1, - 1 ) , (2,3) \\\\ 4. & (1,1), (4, - 2 ) , (3, 2) \end{array}$