Conic Sectons (Circle) - Part (6)

Problem Solving Techniques

Example (1)

Find the equation of the circle which passes through the points $A(2, 6)$ and $B(−2, −2)$ and has its centre lying on the line $y = x + 1.$

ရှင်းလင်းချက်


  • စက်ဝိုင်းသည် အမှတ် $A$ နှင့် $B$ ကို ဖြတ်သွားသည်။ ထို့ကြောင့် $AB$ သည် လေးကြိုးတစ်ကြောင်း ဖြစ်သည်။

  • လေးကြိုးတစ်ကြောင်း ၏ ထောင့်မတ်ကျ ထက်ဝက်ပိုင်းမျဉ်း (perpendicular bisector) သည် စက်ဝိုင်း၏ ဗဟိုကို ဖြတ်သည်။ ထို့ကြောင့် $AB$ ထောင့်မှတ်ကျ ထက်ဝက်ပိုင်းမျဉ်းပေါ်တွင် စက်ဝိုင်း၏ ဗဟိုရှိသည်။

  • ပေးချက်အရ $y = x + 1$ ပေါ်တွင်လည်း စက်ဝိုင်း၏ ဗဟိုရှိသည်။ ထို့ကြောင့် $AB$ ၏ ထောင့်မတ်ကျ ထက်ဝက်ပိုင်းမျဉ်း နှင့် $y = x + 1$ ဆုံသော အမှတ်သည် စက်ဝိုင်း၏ ဗဟိုဖြစ်သည်။

  • ထို့ကြောင့် equation of perpendicular bisector of $AB$ ($l$ ဟုဆိုပါစို့) ကို ဦးစွာရှာရမည်။

  • $l$ ၏ equation ကိုရှာရန် $l$ ပေါ်ရှိအမှတ် တစ်ခုနှင့် $l$ ၏ slope $m_l$ ကို သိရမည်။ $AB$ ၏ အလယ်မှတ် (midpoint of $AB$) သည် $l$ ပေါ်တွင်ရှိသည်။ တဖန် $l$ သည် $AB$ ပေါ်သို့ ထောင့်မတ်ကျသောကြောင့် $m_l = -\displaystyle\frac{1}{m_{AB}}$ ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် $l$ ၏ equation ကို ရှာနိုင်ပြီ ဖြစ်သည်။

  • $l$ ၏ equation နှင့် $y = x + 1$ ကို ဖြေရှင်းလျှင် စက်ဝိုင်း၏ ဗဟိုကို ရမည်။

  • စက်ဝိုင်း၏ ဗဟိုနှင့် $A$ (သို့မဟုတ်) စက်ဝိုင်း၏ ဗဟိုနှင့် $B$ အကွာအဝေးသည် စက်ဝိုင်း၏ အချင်းဝက်ဖြစ်သည်။ ဗဟိုနှင့် အချင်းဝက်ကို ရလျှင် circle equation ကို ရှာနိုင်မည်။

Solution


Given : $A(2,6)$ and $B(-2,-2), A B$ is the chord of circle.

The centre of the circle lies on the line $y=x+1$.

Slope of $A B=m_{A B}=\displaystyle\frac{6+2}{2+2}=\displaystyle\frac{8}{4}=2$

Midpoint of $A B=\left(\displaystyle\frac{2-2}{2}, \displaystyle\frac{6-2}{2}\right)=(0,2)$

Let the perpendicular bisector of $A B$ be $l$.

$\therefore m_{l}=-\displaystyle\frac{1}{2}$

Equation of $l: y-2=-\displaystyle\frac{1}{2} x$

$\therefore x+2y=4- - - - (1)$

$y=x+1- - - - (1)$

Solving equations (1) and (2), $x=\displaystyle\frac{2}{3}$ and $y=\displaystyle\frac{5}{3}$.

$\therefore$ The centre of the required circle is $\left(\displaystyle\frac{2}{3}, \displaystyle\frac{5}{3}\right)$

Radius of the required circle $=\sqrt{\left(\displaystyle\frac{2}{3}+2\right)^{2}+\left(\displaystyle\frac{5}{3}+2\right)^{2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{185}}{3}$

Equation of the required circle : $\left(x-\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{2}+\left(y-\displaystyle\frac{5}{3}\right)^{2}=\displaystyle\frac{185}{9}$


Example (2)


The line $y = 2x + 5$ cuts the circle $x^2 + y^2 = 10$ at two points $A$ and $B$.
  1. Find the coordinates of $A$ and of $B$.
  2. Find the equation of the perpendicular bisector of $AB$ and show that it passes through the centre of the circle.
  3. Given that the perpendicular bisector cuts the circle at $P$ and $Q$, show that the $x$-coordinates of $P$ and $Q$ are $k\sqrt{2}$ and $-k\sqrt{2}$ respectively, where $k$ is an integer to be found.

ရှင်းလင်းချက်


  • မေးခွန်းက Line $y = 2x + 5$ က Circle $x^2 + y^2 = 10$ ကို $A$ နှင့် $B$ တွင် ဖြတ်သွားသည်။ (a) တွင် ၎င်းအမှတ် $A$ နှင့် $B$ ကို ရှာရမည်။

  • $y = 2x + 5$ နှင့် $x^2 + y^2 = 10$ ညီမျှခြင်းနှစ်ကြောင်း ဖြေရှင်း၍ရသော အဖြေကိုမေးခြင်းဖြစ်သည်။

  • (b) တွင် $AB$ ၏ ထောင့်မတ်ကျ ထက်ဝက်ပိုင်းမျဉ်းသည် ဗဟိုကိုဖြတ်ကြောင်း သက်သေပြခိုင်းသည်။ လေးကြိုးတစ်ကြောင်း ၏ ထောင့်မတ်ကျ ထက်ဝက်ပိုင်းမျဉ်း (perpendicular bisector) သည် စက်ဝိုင်း၏ ဗဟိုကို ဖြတ် ကြောင်း Example (1) တွင် သိရှိပြီးဖြစ်သည်။ ထိုအဆိုပြုချက် မှန်ကန်ကြောင်း ပြန်လည်သက်သေပြပေးရန် ဖြစ်သည်။ သက်သေပြရန်မှာ Circle ၏ center $(0,0)$ သည် Equation of perpendicular bisector of $AB$ ကို ပြေလည်စေကြောင်း ပြနိုင်ရန်ဖြစ်သည်။

  • (c) တွင် ထောင့်မတ်ကျ ထက်ဝက်ပိုင်းမျဉ်းသည် စက်ဝိုင်းကို $P$ နှင့် $Q$ ၌ ဖြတ်လျှင် $P$ ၏ $x$-coordinate ကို $k\sqrt{2}$ ပုံစံဖြင့်လည်းကောင်း၊ $Q$ ၏ $x$-coordinate ကို $-k\sqrt{2}$ ပုံစံဖြင့်လည်းကောင်း၊ ဖော်ပြပြီး $k$ တန်ဖိုးကို ရှာပေးရန်ဖြစ်သည်။ ထောင့်မတ်ကျ ထက်ဝက်ပိုင်းမျဉ်း၏ ညီမျှခြင်းနှင့် စက်ဝိုင်း၏ ညီမျှခြင်း နှစ်ခု တပြိုင်နက် ဖြေရှင်းခြင်းအားဖြင့် $P$ နှင့် $Q$ ၏ $x$-coordinates များကို ရှာယူနိုင်သည်။

Solution


Line : $y=2 x+5 \quad\quad\quad\quad---(1)$

Circle : $x^{2}+y^{2}=10 \ \quad\quad---(2)$

$\therefore$ Centre of circle $=(0,0)$

Radius of circle $=\sqrt{10}$

Substituting $y=2 x+5$ in $x^{2}+y^{2}=10$, we have

$x^{2}+(2x+5)^{2}=10$

$\therefore x^{2}+4 x+3=0$

$\therefore x=-3$ or $x=-1$

$x=-3 \Rightarrow y=-1$

$x=-1 \Rightarrow y=3$

The points $A$ and $B$ are $(-3,-1)$ and $(-1,3)$ respectively.

Midpoint of $A B=\left(\displaystyle\frac{-3-1}{2}, \displaystyle\frac{-1+3}{2}\right)=(-2,1)$

Slope of $A B=m_{A B}=\displaystyle\frac{3+1}{-1+3}=2$

Let the perpendicular bisector of $A B$ be $l$.

$\therefore m_{l}=-\displaystyle\frac{1}{2}$

Equation of $l: y-1=-\displaystyle\frac{1}{2}(x+2)$

$x+2 y=0 \quad\quad\quad\quad---(3)$

When $x=0,0+2 y=0$

Hence, the equation of the perpendicular bisector of $A B$, passes through the centre of the circle.

From equation (3), $y=-\displaystyle\frac{x}{2}$ and substituting it in equation (2), we get

$x^{2}+\left(-\displaystyle\frac{x}{2}\right)^{2}=10$

$\displaystyle\frac{5 x^{2}}{4}=10$

$x^{2}=8$

$x=\pm 2 \sqrt{2}$

$\therefore k=2$

Example (3)


Find the equations for the circle determined by the three points $A(2, -1) , B(-1, 2)$ and $C(0,2)$.Hence or otherwise determine the centre of circle and its radius.

ရှင်းလင်းချက်


  • မည်သည့်တြိဂံမဆို စက်ဝိုင်းတွင်းကျ (cyclic) ဖြစ်ကြောင်း grade (11) တွင် သိရှိခဲ့ပြီး ဖြစ်သည်။ တစ်နည်းဆိုသော် မျဉ်းတစ်ဖြောင့်တည်း မဟုတ်သော (non-collinear) အမှတ်သုံးမှတ်တိုင်းသည် စက်ဝိုင်းတစ်ခုပေါ်တွင် ကျရောက်သည်။

  • ထို့ကြောင့် မျဉ်းတစ်ဖြောင့်တည်း မဟုတ်သော အမှတ်သုံးမှတ် ပေးထားလျှင် ထိုအမှတ်များကို ဖြတ်သွားသော စက်ဝိုင်းတစ်ခု၏ ညီမျှခြင်းကို ရှာယူနိုင်သည်။

  • စက်ဝိုင်း၏ ညီမျှခြင်းကိုရှာရန် radius နှင့် centre ကို သိရှိရမည်။ examplae (1) နှင့် (2) အရ $AB$ နှင့် $BC$ တို့၏ perpendicular bisector များ ဆုံသောအမှတ်သည် centre $(O)$ ဖြစ်သည် ဆိုသော မှန်ကန်ချက်ကို သုံး၍ centre ကို ရှာနိုင်သည်။ ထိုနောက် $\text{radius}=OA=OB=OC$ ဖြင့် radius ကို ရှာ၍ စက်ဝိုင်း၏ equation ကို ရှာနိုင်သည်။

  • စက်ဝိုင်းတစ်ခု၏ general equation သည် $x^2+y^2-2hx-2ky+e$ ဟုဖော်ပြနိုင်ကြောင့် Conic Sections -Part (5) တွင် တင်ပြခဲ့ပြီး ဖြစ်သည်။

  • ထို့ကြောင့် ပေးထားသော အမှတ်သုံးမှတ်ကို စက်ဝိုင်း၏ general equation တွင် အစားသွင်းခြင်းအားဖြင့် $h, k, e$ တို့ကို ရှာနိုင်ပြီး၊ ထိုမှတဆင့် centre နှင့် radius ကိုရှာနိုင်သည်။

  • ယခုဖြေရှင်းချက်တွင် ဒုတိယနည်းလမ်းဖြစ်သော general equation ကို သုံး၍ ဖြေရှင်းပါမည်။ ပေးထားသော အမှတ်သုံးမှတ်ကို ဖြတ်သွားသော စက်ဝိုင်းညီမျှခြင်းကို ရှာပါဟု မေးထားပြီးဖြစ်၍ မျဉ်းတစ်ဖြောင့်တည်း မဟုတ်သော အမှတ်သုံးမှတ် ဖြစ်သည်ဟု သိရှိရပါမည်။


Solution

Any circle can be determined with the general equation $x^{2}+y^{2}-2 h x-2 k y+e$.

$A(2,-1), B(-1,2)$ and $C(0,2)$ lie on the circumference of the circle.

At the point $A(2,-1), 4+1-4 h+2 k+e=0$

$\therefore -4 h+2 k+e=-5\quad---(1)$

At the point $B(-1,2), 1+4+2 h-4 k+e=0$

$\therefore 2 h-4 k+e=-5 \quad---(2)$

At the point $C(0,2), 4-4 k+e=0$

$\therefore 4 k-e=4 \quad\quad\quad\quad---(3) $

Solving equations $(1),(2)$ and $(3)$, we get

$h=-\displaystyle\frac{1}{2}, k=-\displaystyle\frac{1}{2}, e=-6$

$\therefore$ Centre of circle $=(h, k)=\left(-\displaystyle\frac{1}{2},-\displaystyle\frac{1}{2}\right)$

$\begin{aligned} \text { Radius } &=\sqrt{h^{2}+k^{2}-e} \\\\ &=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{4}+\displaystyle\frac{1}{4}+6} \\\\ &=\sqrt{\displaystyle\frac{13}{2}} \end{aligned}$

Hence the equation of the circle is $x^{2}+y^{2}+x+y-6 = 0$ or $\left(x+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(y+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{2}=\displaystyle\frac{13}{2}$.

Example (4)


Show that the points $A(-2,2)$, $C(1,-3)$, $C(6,0)$ and $D(6,2)$ all lie on the same circle. Hence find the centre and radius of that circle.

ရှင်းလင်းချက်


  • ပေးထာသော အမှတ်လေးမှတ်လုံး စက်ဝိုင်းတစ်ခုတည်းပေါ်တွင် ရှိကြောင်း သက်သေပြန်ရန် ဖြစ်သည်။ ထို့နောက် centre နှင့် radius ကို ရှာပေးရမည်။

  • မျဉ်းတစ်ဖြောင့်တည်း မဟုတ်သော အမှတ်သုံးမှတ်တိုင်းသည် စက်ဝိုင်းတစ်ခုပေါ်တွင် ကျရောက်ကြောင်း example (3) တွင် တင်ပြခဲ့ပြီး ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် နှစ်သက်ရာအမှတ်သုံးမှတ်ကိုယူ၍ စက်ဝိုင်းတစ်ခု၏ general form ကိုသုံး၍ circle equation ကို ရှာနိုင်သည်။ ကျန်အမှတ်တစ်ခုကို ရရှိလာသော equation တွင် အစားထိုး ပြေလည်စေခြင်းအားဖြင့် အမှတ်လေးမှတ်လုံး စက်ဝိုင်းပေါ်တွင် ရှိကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။

  • ထို့နောက် ရရှိလာသော circle equation မှ centre နှင့် radius ကို ရှာယူနိုင်သည်။

Solution


Let the required circle be $x^{2}+y^{2}-2 h x-2 k y+e$.

At the point $A(-2,2), 4+4+4 h-4 k+e=0$

$\therefore 4 h-4 k+e=-8 \quad\quad\quad ---(1)$

At the point $A(1,-3), 1+9-2 h+6 k+e=0$

$\therefore 2 h-6 k-e=10 \quad\quad\quad ---(2)$

At the point $A(6,0), 36-12 h+e=0$

$\therefore 12 h-e=36 \quad\quad\quad\quad\quad ---(3)$

Solving equations $(1),(2)$ and $(3)$, we get

$h=2, k=1, e=-12$

Hence the equation of the circle is $x^{2}+y^{2}-4 x-2 y-12=0$

Substituting $x=6, y=2$ in $x^{2}+y^{2}-4 x-2 y-12$,

$6^{2}+2^{2}-4(6)-2(2)-12$

$=36+4-24-4-12=0$

Hence the point $(6,2)$ lies on the circle.

$\therefore$ Centre of circle $=(h, k)=(2,1)$

$\begin{aligned} \text { Radius } &=\sqrt{h^{2}+k^{2}-e} \\\\ &=\sqrt{4+1+12} \\\\ &=\sqrt{17} \end{aligned}$

Exercise


1. Given that a circle which passes throughthe points $P(3, 5)$ and $Q(−1, 3)$ has radius $\sqrt{10}$, find

(a)  the equation of the circle,

(b)  the equation of the perpendicular bisector of $PQ$.
2. What are the length and the slope of the tangent(s) from the origin to the circle $(x − 3)^2 + (y − 4)^2 = 4$?
3. Find all values of $c$ such that the line $y = x + c$ is tangent to the circle $x^2 + y^2 = 8$.
4. Find an equation of the circle tangent to the  line $y=-2x+5$ at the point $(2,1)$ and with its centre on the line $y=-x+6$.
5. Find the equations for the circles determined by the following three points:

(a)  $(-1,-1),(3,1),(1,5)$

(b)  $(1,4),(5,6),(3,2)$

(c)  $(3,-1),(1,1),(-1,-2)$